山西省朔州市河头中学高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则以为邻边的平行四边形的面积为( ).
A.8 B. C.4 D.
参考答案:
D
2. 在 中,若,则角的值为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
参考答案:
B
两边同时除以 得故本题正确答案是 1
3. 函数y=sin2x的图象向右平移(>0)个单位,得到的图象恰好关于x=对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.以上都不对
参考答案:
A
4. 复数(是虚数单位)的虚部为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
,
∴虚部为,选.
5. 下面有关三视图的说法中,错误的是( )
A.正方体的三视图中不可能有三角形 B.正四面体的三视图均为正三角形
C.圆柱的三视图有可能是两个正方形和一个圆 D.球的三视图都是圆
参考答案:
B
6. 已知m、n、l是不同的直线,α、β是不同的平面,则下列说法中不正确的是( )
①m?α,l∩α=A,点A?m,则l与m不共面;
②l、m是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;
③若l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则α∥β;
④若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m.
A.① B.② C.③ D.④
参考答案:
D
7. 过点,且圆心在直线上的圆的标准方程为
A. B.
C. D.
参考答案:
B
8. 若,且,则下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 下列命题为真命题的是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
10. 展开式中项的系数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由于,
故,
则其展开式 通项公式为:,
令可得:r=4,
则展开式中x2项的系数为:.
本题选择C选项.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f(x)=xlnx在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于 _________ .
参考答案:
1
12. 已知函数,则=______________。
参考答案:
13.
参考答案:
30
14. 在极坐标系中,点到圆的圆心的距离为 .
参考答案:
,
,
,即,
圆心为,点的直角坐标为,
.
15. 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知,则AB边上的中线的实际长度为_____________.
参考答案:
略
16. 已知x,y∈R且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1,在反证法证明时假设应为 .
参考答案:
x≤1且y≤1
【考点】R9:反证法与放缩法.
【分析】假设原命题不成立,也就是x,y均不大于1成立,即x≤1且y≤1
【解答】解:∵x,y中至少有一个大于1,
∴其否定为x,y均不大于1,即x≤1且y≤1,
故答案为:x≤1且y≤1.
【点评】本题考查反证法,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
17. 若随机变量X~B(10,),则方差DX= .
参考答案:
考点:二项分布与n次独立重复试验的模型.
专题:计算题;概率与统计.
分析:由公式可得DX=np(1﹣p),即可得出结论.
解答: 解:由公式可得DX=np(1﹣p)=10×=.
故答案为:.
点评:本题考查离散型随机变量的方差的求法,公式的应用,考查计算能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数.
(1)求该函数的单调区间;
(2)求该函数在[-1,3]上的最小值.
参考答案:
(1) 递增区间为,递减区间为;(2)-10
【分析】
(1),解得单调区间即可;(2)由(1)的单调性知,在上的最小值只可能在处取,代入求值即可
【详解】(1)
的递增区间为,递减区间为.
(2)由(1)的单调性知,在上的最小值只可能在处取,
在上的最小值为.
【点睛】本题考查导数的综合运用:求单调区间,极值,最值,考查运算能力,属于中档题.
19. (本小题12分)已知圆和点
(Ⅰ)若过点有且只有一条直线与圆相切,求正实数的值,并求出切线方程;
(Ⅱ)若,过点的圆的两条弦互相垂直,设分别为圆心到弦的距离.
(1)求的值;
(2)求两弦长之积的最大值.
参考答案:
(Ⅰ),得
,∴切线方程为即
(Ⅱ)①当都不过圆心时,设于,
则为矩形,,当中有一条过圆心时,上式也成立
②
∴
(当且仅当时等号成立)
20. 对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“M类函数”.
(1)已知函数,试判断是否为“M类函数”?并说明理由;
(2)设是定义在[-1,1]上的“M类函数”,求是实数m的最小值;
(3)若为其定义域上的“M类函数”,求实数m的取值范围.
参考答案:
(1)函数是“类函数”;(2);(3).
试题分析:(1) 由,得整理可得满足
(2) 由题存在实数满足,即方程在上有解.令分离参数可得,设求值域,可得
取最小值
(3) 由题即存在实数,满足,分,,三种情况讨论可得实数m的取值范围.
试题解析:(1)由,得:
所以
所以存在满足
所以函数是“类函数”,
(2)因为是定义在上的“类函数”,
所以存在实数满足,
即方程在上有解.
令
则,因为在上递增,在上递减
所以当或时,取最小值
(3)由对恒成立,得
因为若为其定义域上的“类函数”
所以存在实数,满足
①当时,,所以,所以
因为函数()是增函数,所以
②当时,,所以,矛盾
③当时,,所以,所以
因为函数是减函数,所以
综上所述,实数的取值范围是
点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题,求参数常用的方法和思路有:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成函数的值域问题解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.
21. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2, ∠CAA1= ,D、E分别为AA1、A1C的中点.
(1)求证:A1C⊥平面ABC;(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值.
参考答案:
(1)证明:∵BC⊥侧面AA1C1C,A1C在面AA1C1C内,∴BC⊥A1C. 2分
在△AA1C中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1=,
由余弦定理得A1C2=AC2+-2AC?AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos=3,
∴A1C= ∴AC2+A1C2=AA12 ∴AC⊥A1C 5分
∴A1C⊥平面ABC. 6分
(2)由(Ⅰ)知,CA,CA1,CB两两垂直
设平面BDE的法向量为=(x,y,z),则有令z=1,则x=0,y=
∴=(0,,1) 9分
∵A1C⊥平面ABC ∴=(0,,0)是平面ABC的一个法向量 10分
∴
∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为. 12分
22. 汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面(即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面).其设计的光学原理是:由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射,光线均沿与轴线平行方向路径反射,而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面(线)在该点处的切面(线).
定义:经光滑曲线上一点,且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.
设计一款汽车前灯,已知灯口直径为,灯深(如图).设抛物镜面的一个轴截面为抛物线,以该抛物线顶点为原点,以其对称轴为轴建立平面直角坐标系(如图).
抛物线上点到焦点距离为,且在轴上方.研究以下问题:
求点坐标.
参考答案:
见解析.
解:设点坐标为,,则,
∵点到焦点的距离为,
∴,得,
∴,
故点的坐标为.