山东省潍坊市兴安街道育英中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
7.阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是
A.S<8 B. S<9
C. S<10 D. S<11
参考答案:
B
2. 函数y=cos,x∈R( ).
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
参考答案:
C
3. (5分)若函数f(x)=|ax+x2﹣x?lna﹣m|﹣2,(a>0且a≠1)有两个零点,则m的取值范围( )
A. (﹣1,3) B. (﹣3,1) C. (3,+∞) D. (﹣∞,﹣1)
参考答案:
A
【考点】: 函数零点的判定定理.
【专题】: 计算题;函数的性质及应用.
【分析】: 令g(x)=ax+x2﹣x?lna,先讨论a>1,0<a<1求出单调区间,进而判断函数g(x)的极小值,再由y=|g(x)﹣m|﹣2有两个零点,所以方程g(x)=m±2有2个根,而m+2>m﹣2,所以m+2>1且m﹣2<1,即可得到m的取值范围.
解:令g(x)=ax+x2﹣x?lna,
g′(x)=axlna+2x﹣lna=2x+(ax﹣1)lna,
①当a>1,x∈(0,+∞)时,lna>0,ax﹣1>0,则g′(x)>0,
则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
x∈(﹣∞,0)时,lna>0,ax﹣1<0,所以g′(x)<0,
则函数g(x)在(﹣∞,0)上单调递减;
②当0<a<1时,x>0,lna<0,ax﹣1<0,所以g′(x)>0,
则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x∈(﹣∞,0)时,lna<0,ax﹣1>0,所以g′(x)<0,
则函数g(x)在(﹣∞,0)上单调递减.
故当a>0且a≠1时,g(x)在x<0时递减;g(x)在x>0时递增,
则x=0为g(x)的极小值点,且为最小值点,且最小值g(0)=1.
又函数f(x)=|g(x)﹣m|﹣2有两个零点,所以方程g(x)=m±2有二个根,
而m+2>m﹣2,所以m+2>1且m﹣2<1,解得m∈(﹣1,3),
故选A.
【点评】: 本题考查函数的零点,用导数判断函数单调性,利用导数研究函数极值,体现了转化的思想,以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力,属中档题.
4. 将函数的图像上各点向右平移个单位,则得到新函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 在复平面内,复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
6. “”是“函数的最小正周期为”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件
参考答案:
A
7. 已知函数,记,,
,,则 ( )
A.10 B.lg110 C.0 D.1
参考答案:
D
略
8. 已知为等差数列,其前n项和为Sn,若,则下列各式一定为定值的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【知识点】等差数列的性质;等差数列的前n项和
解析:定值,,故选C.
【思路点拨】利用等差数列的前n项和,得到为定值,再利用等差数列的性质即可.
9. 设非零向量,满足,,则= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D.
法一:【解析】∵∴,∴解得:
∴∴法二:利用向量几何意义画图求解.
10. 现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100接力赛跑。第一棒只能从甲、乙两人中安排1人,第四棒只能从甲、丙两人中安排1人,则不同的安排方案共有
A.24种 B.36种 C.48种 D.72种
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知单位向量a,b的夹角为60°,则(2a+b)·(a-3b)=________.
参考答案:
12. (文)已知向量则的最大值为_________.
参考答案:
3
,所以当时,有最大值,所以的最大值为3.
13. 双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点,若,则双曲线的离心率为 .
参考答案:
考点:双曲线的简单性质.
分析:因为,所以AF1与BF1互相垂直,结合双曲线的对称性可得:△AF1B是以AB为斜边的等腰直角三角形.由此建立关于a、b、c的等式,化简整理为关于离心率e的方程,解之即得该双曲线的离心率.
解答: 解:根据题意,得右焦点F2的坐标为(c,0)
联解x=c与,得A(c,),B(c,﹣)
∵
∴AF1与BF1互相垂直,△AF1B是以AB为斜边的等腰Rt△
由此可得:|AB|=2|F1F2|,即=2×2c
∴=2c,可得c2﹣2ac﹣a2=0,两边都除以a2,得e2﹣2e﹣1=0
解之得:e=(舍负)
故答案为:
点评:本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦,与左焦点构成直角三角形,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.
14. 的展开式中含x2项的系数是
参考答案:
5
略
15. 定义在R上的函数f(x)满足:f′(x)>1﹣f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式exf(x)>ex+5(其中e为自然对数的底数)的解集为 .
参考答案:
(0,+∞)
【考点】导数的乘法与除法法则.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】构造函数g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解
【解答】解:设g(x)=exf(x)﹣ex,(x∈R),
则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],
∵f'(x)>1﹣f(x),
∴f(x)+f′(x)﹣1>0,
∴g′(x)>0,
∴y=g(x)在定义域上单调递增,
∵exf(x)>ex+5,
∴g(x)>5,
又∵g(0)=e0f(0)﹣e0=6﹣1=5,
∴g(x)>g(0),
∴x>0,
∴不等式的解集为(0,+∞)
故答案为:(0,+∞).
【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.
16. 已知,则与的夹角大小为 .
参考答案:
60°
17. 曲线与直线围成的封闭图形的面积为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)函数y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
∵x∈[-5,5],∴f(x)min=f(1)=1;
f(x)max=f(-5)=37.
(2)∵f(x)=(x+a)2+2-a2,
∴函数的对称轴为直线x=-a.
∵函数f(x)在[-5,5]上是单调的,
∴-a≤-5或-a≥5,
即a≥5或a≤-5.
∴实数a的取值范围是{a|a≥5或a≤-5}.
略
19. 已知函数f(x)一x2 (x-t),t>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设函数y=f(x)在点P()处的切线的斜率为k,当xo∈(0,1]时,k≥恒成立,求t的最大值.
参考答案:
20. 从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求.
附:≈12.2.
若~,则=0.6826,=0.9544.
参考答案:
(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
…………6分
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知~,从而
………………9分
(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826
依题意知,所以 ………12分
21. 已知函数=(是常数).
(1) 若是增函数,试求的取值范围;
(2) 当=0时,是否存在不相等的正数满足若存在,求出;若不存在,说明理由.
参考答案:
22. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosA(ccosB+bcosC)=a.
(I)求A;
(II)若△ABC的面积为,且c2+abcosC+a2=4,求a.
参考答案:
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】(I)由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA,结合sinA≠0,可求cosA=,结合范围A∈(0,π),可求A的值.
(II)由△ABC的面积为,求出bc,利用c2+abcosC+a2=4,得出3a2+b2+c2=8,结合余弦定理求a.
【解答】解:(I)由正弦定理可知,2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA,
即2cosAsinA=sinA,
因为A∈(0,π),
所以sinA≠0,
所以2cosA=1,即cosA=
又A∈(0,π),
所以A=;
(II)∵△ABC的面积为,
∴=,∴bc=1
∵c2+abcosC+a2=4,∴3a2+b2+c2=8,
∵a2=b2+c2﹣bc
∴4a2=7,∴a=.