山东省日照市街头中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知正项等比数列{an}满足:,,则( )
A.16 B.-16 C.15 D.-15
参考答案:
C
由等比数列的性质得.所以,
又因为,所以,所以,,.
2. 已知、、为互不重合的三个平面,命题若,,则;命题 若上存在不共线的三点到的距离相等,则.对以上两个命题,下列结论中正确的是( )
A.命题“且”为真 B.命题“或”为假
C.命题“或”为假 D.命题“且”为假
参考答案:
C
略
3. (理)设,则的值等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数奇偶性的判断.
【专题】压轴题.
【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.
【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),
∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,
而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,
故选B
【点评】本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断,属基本题.
5. 设集合,,若动点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 设(是虚数单位),则
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 若集合,,则A∩B=( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
C
化简集合
8. 已知双曲线的左、右焦点分别F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P,且,则双曲线的离心率为
A. B. C. D. 2
参考答案:
A
9. 下列四个命题:
(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为C.
10. 若直线的参数方程为,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (原创)直线过定点且与圆交于点,当最小时,直线恰好和抛物线()相切,则的值为
参考答案:
略
12. 已知为等差数列,为其前项和.若,,则 ;= .
参考答案:
1,
,所以,。
13. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为______________________________。
参考答案:
略
14. 在等比数列{an}中,已知a4+a10=10,且,则= .
参考答案:
16
15. 双曲线的渐近线的方程为_________,渐近线与准线的夹角是 .
参考答案:
,
16. 若不等式|恒成立,则的取值范围是 .
命题意图:考查绝对值不等式,中档题.
参考答案:
[-3,5]
17. 在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A,则c= .
参考答案:
5
【考点】余弦定理.
【分析】由∠B=2∠A,得到sinB=sin2A=2sinAcosA,利用正弦定理化简将a与b的值代入求出cosA的值,利用余弦定理列出关系式,将a,b,cosA的值代入即可求出c的值.
【解答】解:∵∠B=2∠A,
∴sinB=sin2A=2sinAcosA,
利用正弦定理化简得:b=2acosA,
把a=3,b=2代入得:2=6cosA,即cosA=,
由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即9=24+c2﹣8c,
解得:c=5或c=3,
当c=3时,a=c,即∠A=∠C,∠B=2∠A=2∠C,
∴∠A+∠C=∠B,即∠B=90°,
而32+32≠(2)2,矛盾,舍去;
则c=5.
故答案为:5
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及二倍角的正弦函数公式,熟练掌握定理是解本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
如图,已知三棱锥的三条侧棱,,两两垂直,△为等边三角形, 为△内部一点,点在的延长线上,且.
(1)证明:;
(2)证明:平面平面;
(3)若,,求二面角的余弦值.
参考答案:
(1)略 (2)略 (3)
又,所以,平面平面. …………………………………9分
(3)(法一)由(2)知平面,
所以平面平面,
且平面平面,
过点作平面,且交的延长线于点,连接,
因为,,
由(1)同理可证,
在△中,,
所以,又因为,
所以平面,
所以为二面角的平面角, ………………………………………11分
在直角△中,, ………………………………………………12分
由(2)知,所以△为等腰直角三角形,
所以,所以,
所以,二面角的余弦值为. ……………………………………………14分
(法2)如图6,以,,所在的直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系.
由(1)同理可证, 设,则,,,,.
设,其中,,.
由,.
由(2)知,且,,
得.
解之,得,. ……………………………11分
所以,
设平面的法向量为,
由,,得.
取,得,.
由(2)知,平面的法向量为, …………………………13分
记二面角的平面角为,由图可得为锐角,
所以.
所以,二面角的余弦值为. …………………………14分
考点:空间点、线、面的位置关系,线面垂直、面面垂直的判定与性质,用空间向量求二面角,空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力.
19. (12分)(2010?湖北)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
考点: 抛物线的应用.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: (Ⅰ)设P(x,y)是曲线C上任意一点,然后根据等量关系列方程整理即可.
(Ⅱ)首先由于过点M(m,0)的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B,则设该直线的方程为x=ty+m(包括无斜率的直线);然后与抛物线方程联立方程组,进而通过消元转化为一元二次方程;再根据韦达定理及向量的数量积公式,实现?<0的等价转化;最后通过m、t的不等式求出m的取值范围.
解答: 解:(Ⅰ)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:
化简得y2=4x(x>0).
(Ⅱ)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
设l的方程为x=ty+m,由得y2﹣4ty﹣4m=0,△=16(t2+m)>0,
于是①
又.?(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2<0②
又,于是不等式②等价于③
由①式,不等式③等价于m2﹣6m+1<4t2④
对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1<0,解得.
由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有,且m的取值范围.
点评: 本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力.
20. (本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为,且满足,.
(1)求的通项公式;
(2)设,证明数列是等比数列并求其前项和.
参考答案:
解:(1)设等差数列的公差为.由题意知
……………………… 4分
解得,,,
∴() ……………………… 6分
(2)由题意知, (),
() ……………………… 8分
∴(),又
∴是以,公比为8的等比数列. ……………………… 10分
. ……………………… 12分
略
21. 已知函数(其中),﹒
(Ⅰ)若命题“”是真命题,求x的取值范围;
(Ⅱ)设命题p:,或,若是假命题,求m的取值范围﹒
参考答案:
即其等价于
…………………3分
解得,…………………4分
故所求x的取值范围是;…………………5分
(Ⅱ)因为是假命题,则为真命题,…………………6分
而当x>1时,>0,…………………7分
又是真命题,则时,f(x)<0,
所以,即;…………………9分
(或据解集得出)
故所求m的取值范围为﹒…………………10分
22. 在平面直角坐标系中,已知点.
(I)求;
(II)设实数t满足,求t的值.
参考答案:
(1)3,2(2)-1
(1)∵A(1,4),B(-2,3),C(2,-1).
∴=(-3,-1),=(1,-5),+=(-2,-6),
∴?=-3×1+(-1)×(-5)=3,|+|==2.
(2)∵()⊥,∴=0,即-=-3×2+(-1)×(-1)=-5,=22+(-1)2=5,∴-5-5t=0,∴t=-1.
略