湖北省荆州市江北农场中学2023年高三数学文月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在中，a=15,b=10,A=60°，则=( ).
A. － B . C .－ D.
参考答案：
D
略
2. 函数的部分图象如图所示．则函数的单调递增区间为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
参考答案：
C
【分析】
利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】根据函数的部分图象，
可得：，
解得：，
由于点在函数图象上，可得：，
可得：，，
解得：，，
由于：，
可得：，即，
令，解得：，，
可得：则函数的单调递增区间为：，．
故选C．
【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象与性质，属于中档题.
函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间.
3. “”是“设函数的图象关于直线x＝1对称”的（ ），
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
参考答案：
C
4. 已知向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）∥，则k=（ ）
A．﹣8 B．﹣ C． D．8
参考答案：
A
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】求出向量+2，利用斜率的坐标运算求解即可．
【解答】解：向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），
+2=（1，4），
∵（+2）∥，
∴﹣8=k．
故选：A．
5. 若实数x，y满足：，则z=3x﹣y的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
C
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，令z=3x﹣y，进一步求出目标函数z=3x﹣y的最大值．
【解答】解：满足约束条件：的平面区域如图所示：
由得A（3，4）平移目标函数，当目标函数经过A时，z取得最大值．
代入得z=3×3﹣4=5，
当x=3，y=4时，3x﹣y有最大值5．
故选：C．
6. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则Cu( MN)=（ ）
A.{5，7} B. {2，4} C.{2.4.8} D.{1，3，5，6，7}
参考答案：
略
7. 下列选项中，说法正确的是( )
A．命题“若，则”的逆命题是真命题；
B．设是向量，命题“若，则”的否命题是真命题；
C．命题“”为真命题，则命题p和q均为真命题；
D．命题”的否定是“”.
参考答案：
D
略
8. 正三角形中，是边上的点，若，则=
A. B． C． D．
参考答案：
B
略
9. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是
A． B．
C． D．
参考答案：
B
10. 已知函数内是减函数，则（ ）
A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为________．
参考答案：
x＋y－4＝0
12. 已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根，则实数k的取值范围为
参考答案：
1＜k≤2
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：由题意作函数f（x）=的图象，由图象得到．
解答： 解：作函数f（x）=的图象如下图，
则由图象可知，1＜k≤2
点评：本题考查了学生的作图与应用图象的能力，属于基础题．
13. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 。
参考答案：
14. 若为正实数，则 ．
参考答案：
1
15. 若cos（75°﹣a）=，则cos（30°+2a）= ．
参考答案：
【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式，求出sin（15°﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（30°﹣2α）的值．
【解答】解：∵cos（75°﹣α）=sin（15°+α）=，
则cos（30°+2α）=1﹣2sin2（15°+α）=1﹣2×=．
故答案为：．
16. 积分
参考答案：
17. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .
参考答案：
1/3
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设为实数，函数。
(1)若，求的取值范围； (2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集。
参考答案：
略
19. 某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入(单位：万元)函数为，其中x是产品生产的数量(单位：百台)．
(1)求利润关于产量的函数．
(2)年产量是多少时，企业所得的利润最大？
参考答案：
（1）解：设年产量为x，利润为
………………6分
（2）解：由（1）知时，………………8分
时，=………………10分
当时，
故年产量为475台时，工厂所得利润最大………………12分
【分析】
（1）由于商品年需求量为，故要对产量分成不大于和大于两段来求利润.当时，用收入减掉成本，即为利润的值.当时，成本和的表达式一样，但是销售收入是固定的，由此求得解析式.（2）两段函数，二次函数部分用对称轴求得其最大值，一次函数部分由于是递减的，在左端点有最值的上限.比较两段函数的最大值，来求得整个函数的最大值.
【详解】(1)当 0≤x≤5 时，产品能全部售出，
则成本为 0.25x＋0.5，收入为 5x－x2，
利润 f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5
＝－x2＋4.75x－0.5.
当 x>5 时，只能销售 500台，
则成本为 0.25x＋0.5，销售收入为 5×5－×52＝，
利润 f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.
综上，利润函数 f(x)＝
(2)当 0≤x≤5时，f(x)＝－ (x－4.75)2＋10.781 25，
当 x＝4.75∈[0,5]时，f(x)max＝10.781 25(万元)；
当 x>5 时，函数 f(x) 是递减函数，则 f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
10．75<10.781 25.
综上，当年产量是 475台时，利润最大．
【点睛】本小题主要考查实际生活计算利润的问题.在利润等于收入减去成本.本题中含有固定成本和可变成本.而需求量是一个固定值，所以产量超过500时，收入是固定的，这一点解题过程中要注意到.
20. 已知函数，
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案：
解：（I）当时，，， ………………2分
曲线在点 处的切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为．……4分
（II）解1：
当，即时，，在上为增函数，
故，所以， ，这与矛盾……………6分
当，即时，
若，；
若，，
所以时，取最小值，
因此有，即，解得，这与
矛盾； ………………10分
当即时，，在上为减函数，所以
，所以，解得，这符合．
综上所述，的取值范围为． ………………12分
解2：有已知得：， ………………7分
设，， ………………9分
，，所以在上是减函数． ………………12分
，
所以．
略
21. (本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图. ks5u
(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准?则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；
(3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表).
参考答案：
解: （Ⅰ）…………………………………………………3分
（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.………………………………………………7分
（Ⅲ）这100位居民的月均用水量的众数2.25，中位数2，
平均数为
…………………12分
22. (本小题13分)
如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B －， 。
（I）若∠AOB＝α，求cosα+sinα的值；
（II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足＝ + 。若∠AOP＝2表示｜｜，并求｜｜的最大值。
参考答案：
解法二：正弦定理。