湖北省荆州市石首茅草街乡晏家巷中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是( )
A．y=﹣x2 B．y=x2﹣2 C．y= D．y=log2
参考答案：
B
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题．
【分析】根据二次函数、指数函数、对数函数的单调性，对各个选项的正确性进行判断，从而得到结论．
【解答】解：由于二次函数y=﹣x2 在区间（0，+∞）上是减函数，故排除A．
二次函数y=x2﹣2在区间（0，+∞）上是增函数，满足条件，
由于函数y=在R上是减函数，故排除C．
由于函数y==﹣log2x 在区间（0，+∞）上是减函数，故排除D．
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数、指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
2. 已知函数在[1,2]上的函数值恒为正数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
3. 给定集合A、B，定义A※B＝{x|x＝m－n，m∈A，n∈B}．若A＝{4,5,6}，B＝{1,2,3}，则集合A※B中的所有元素之和为( )
A．15 B．14 C．27 D．－14
参考答案：
A
4. 下列命题正确的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角
B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
参考答案：
D
5. 满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
参考答案：
C
6. 设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的a值的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
D
7. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC的周长为（ ）
A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
参考答案：
A
【分析】
设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，推出a﹣b＝b﹣c＝2，a＝c+4，b＝c+2，利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
【详解】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
设公差为d＝2，三个角分别为、A、B、C，
则a﹣b＝b﹣c＝2，
a＝c+4，b＝c+2，
∵A＝120°．
∴cosA．
∴c＝3，
∴b＝c+2＝5，a＝c+4＝7．
∴这个三角形的周长＝3+5+7＝15．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．注意余弦定理的合理运用，是中档题．
8. 若，则等于（ ）
（A） （B）- （C） (D) -
参考答案：
B
略
9. 定义在R上，且最小正周期为π的函数是（ ）
A．y=sin|x| B．y=cos|x| C．y=|sinx| D．y=|cos2x|
参考答案：
C
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】分别求出函数的最小正周期，判断即可．
【解答】解：对于A：y=sin|x|的最小正周期为2π，
对于B，y=cos|x|的最小正周期为2π，
对于C，y=|sinx|最小正周期为π，
对于D，y=|cos2x|最小正周期为，
故选：C
【点评】本题考查了三角形函数的最小正周期，属于基础题．
10. 已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
参考答案：
C
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】求出幂函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出g（x）在闭区间上的最小值即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，
∴2α=，解得：α=﹣1，
故g（x）==1﹣，
而g（x）在[，1]递增，
故g（x）min=g（）=﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性、最值问题，是一道基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域为__________．
参考答案：
[－1,0)∪(0,+∞)
要使函数有意义，则必须，
解得且，
故函数的定义域是．
12. 若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1+2的图象一定过点 ．
参考答案：
（1，3）；
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断．
【解答】解：方法1：平移法
∵y=ax过定点（0，1），
∴将函数y=ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=ax﹣1+2，此时函数过定点（1，3），
方法2：解方程法
由x﹣1=0，解得x=1，
此时y=1+2=3，
即函数y=ax﹣1+2的图象一定过点（1，3）．
故答案为：（1，3）
【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1，则用解方程的方法比较简单．
13. 已知数列的通项公式是,其前n项和是,则对任意的（其中*），的最大值是 .
参考答案：
10
14. 已知函数（且）的图象必经过点，则点坐标是__________．
参考答案：
(－1,3)
令得，
故函数的图象必过定点．
15. 函数f（x）=的定义域是 ．
参考答案：
[﹣2，3]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由已知可得分段函数在不同区间段内的定义域，取并集得答案．
【解答】解：∵f（x）=，
∴函数f（x）=的定义域是[﹣2，0]∪（0，3]=[﹣2，3]．
故答案为：[﹣2，3]．
16. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．
参考答案：
17. （5分）直线y=k（x﹣1）+2与曲线x=有且只有一个交点，则k的取值范围是 ．
参考答案：
[1，3）
考点： 直线与圆相交的性质．
专题： 直线与圆．
分析： 由曲线方程的特点得到此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，可得出圆心坐标和圆的半径r，然后根据题意画出相应的图形，根据图形，直线恒过（1，2），由图形过（1，2），（0，1）的直线的斜率为﹣1；过（1，2），（0，﹣1）的直线的斜率为3．，综上，得到满足题意的k的范围．
解答： 解：由题意可知：曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，
则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，
画出相应的图形，如图所示：
直线y=k（x﹣1）+2，恒过（1，2），由图形过（1，2），（0，1）的直线的斜率为﹣1；过（1，2），（0，﹣1）的直线的斜率为3．
综上，直线与曲线只有一个交点时，k的取值范围为[1，3）．
故答案为：[1，3）．
点评： 此题考查了直线与圆相交的性质，考查数形结合的思想，根据题意得出此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，并画出相应的图形是解本题的关键．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分） 设函数是定义在区间上以2为周期的函数,记.已知当时，,如图.
（1）求函数的解析式；
（2）对于，求集合；
.
参考答案：
（1）;（2）
（1）是以2为周期的函数，
,
当时，，
的解析式为：.
（2）当且时，化为，
令
，
则
即
19. （本小题满分13分）营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供75g碳水化合物，60g的蛋白质，60g的脂肪.1000g食物A含有105g碳水化合物，70g蛋白质，140g脂肪，花费28元；而1000g食物B含有105g碳水化合物，140g蛋白质，70g脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少g？花费多少钱？
参考答案：
设每天食用kg食物A，kg食物B，总成本为.那么
目标函数为
二元一次不等式组①等价于
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.
考虑，将它变形为，这是斜率为、随变化的一族平行直线.是直线在轴上的截距，当取最小值时，的值最小.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值.
由3.3－11可见，当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最小.
解方程组
得的坐标为
所以①＝
答：每天食用食物A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.
略
20. 已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：
（1）的解析式；
（2），求的最大值；
参考答案：
（1）.
（2）m<2，；当m>3时，；当时，
⑴根据题意，由于函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，可知的两个根为1,3，结合韦达定理可知
⑵由于，那么导数
，求,结合二次函数开口方向向下，以及对称轴和定义域的关系分情况讨论可知：
①当时，
②当m<2时，g（x）在[2，3]上单调递减，
③当m>3时，g（x）在[2，3]上单调递增，
21. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，
（1）若，求证：平面
（2）若平面平面，求证：
参考答案：
22. 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
（Ⅰ）求B的大小;
（Ⅱ）若,求的取值范围.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得 sinB的值，可得B的值
（Ⅱ）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c关于A的三角函数，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值．
【详解】解（Ⅰ）锐角
又
，，
由正弦定理得 ，
∴
．
∴
的取值范围为
【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题．