湖北省随州市曾都区职业中学2023年高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,若,则 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
2. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点,若是的等比中项,是与的等差中项,则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 在2012年3月15日那天,库尔勒市物价部门对本市的5家商场的某商品的天销售量及其价格进行了调查,5家商场的售价:
通过散点图可知与价格之间有较好的线性相关关系,其回归直线的方程是
,则( )
A、-24 B、35.6 C、40.5 D、40
参考答案:
D
4. 已知正方体中,点为上底面的中心,若,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. ,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 数列{an}满足an=4an﹣1+3且a1=0,则此数列第4项是( )
A.15 B.16 C.63 D.255
参考答案:
C
【考点】梅涅劳斯定理;数列递推式.
【专题】计算题;等差数列与等比数列.
【分析】根据an=4an﹣1+3,把a1=0代入求出a2,进而求出a3,a4,即可确定出第4项.
【解答】解:把a1=0代入得:a2=4a1+3=3,
把a2=3代入得:a3=4a2+3=12+3=15,
把a3=15代入得:a4=4a3+3=60+3=63,
则此数列第4项是63,
故选:C.
【点评】此题考查了梅涅劳斯定理,数列的递推式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
7. 下列说法中正确的是( )
A.若分类变量和的随机变量的观测值越大,则“与相关”的可信程度越小
B.对于自变量和因变量,当取值一定时,的取值具有一定的随机性,,间的这种非确定关系叫做函数关系
C.相关系数越接近1,表明两个随机变量线性相关性越弱
D.若分类变量与的随机变量的观测值越小,则两个分类变量有关系的把握性越小
参考答案:
8. x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是 ( )
A.-<x<3 B.-<x<0 C.-3<x< D.-1<x<6
参考答案:
D
略
9. 若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于( )
A. 4+2i B. 2+i C. 2+2i D. 3+i
参考答案:
A
【分析】
直接利用复数的乘法运算计算得解。
【详解】
故选:A
【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算,属于基础题。
10. “”是“函数在区间(1,2)上递减”的()条件
A.充分不必要 B .充要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线C:y2=﹣4x的焦点F,A(﹣1,1),则曲线C上的动点P到点F与点A的距离之和的最小值为 .
参考答案:
2
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,再由抛物线的定义知:当P、A和P在准线上的射影点Q三点共线时,这个距离之和最小,即可得出结论.
【解答】解:∵抛物线方程为y2=﹣4x,
∴2p=4,可得焦点为F(﹣1,0),准线为x=1
设P在抛物线准线l上的射影点为Q点,A(﹣1,1)
则由抛物线的定义,可知当P、Q、A点三点共线时,点P到点(﹣1,1)的距离与P到该抛物线焦点的距离之和最小,
∴最小值为1+1=2.
故答案为:2.
【点评】本题给出抛物线上的动点,求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值,着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识,属于中档题.
12. 若函数为区间[﹣1,1]上的奇函数,则它在这一区间上的最大值是 .
参考答案:
1
略
13. 函数y=lg(2x﹣x2)的定义域是 .
参考答案:
(0,2)
考点: 对数函数的定义域.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 直接由对数式的真数大于0,然后求解二次不等式得答案.
解答: 解:由2x﹣x2>0,得x2﹣2x<0,
解得0<x<2,
∴函数y=lg(2x﹣x2)的定义域是(0,2).
故答案为:(0,2).
点评: 本题考查了对数型函数的定义域的求法,考查了二次不等式的解法,是基础题.
14. 求和=____
参考答案:
15. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,与AB异面且垂直的棱共有 条.
参考答案:
4
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】画出正方体,利用数形结合思想能求出结果.
【解答】解:如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,
与AB异面且垂直的棱有:
DD1,CC1,A1D1,B1C1,共4条.
故答案为:4.
16. 用反证法证明命题“如果>,那么>”时,假设的内容应为 。
命题意图:基础题。考核反证法的理论基础。常见错误会是与否命题混淆。
参考答案:
假设=或<
17. = ;
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 5名男生4名女生站成一排,求满足下列条件的排法:
(1)女生都不相邻有多少种排法?
(2)男生甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序),有多少种排法?
(3)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?
参考答案:
(1)43200(2)60480(3)287280
试题分析:(1)不相邻排法,可使用插空法,先将男生排好,再将男生排入女生的空档中;(2)可以先将所有学生任意全排列,再将男生三人的多余排法除去;(3)分类,先考虑甲在末位;甲在首位,乙在末位;甲不在首位,乙在末位;甲乙都在首位与末位的.
试题解析:解:(1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有 (种)不同排法.
(2)9人的所有排列方法有种,其中甲、乙、丙的排序有种,又对应甲、乙、丙只有 一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法有 (种).
(3)法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有种排法,若甲不在末位,则甲有种排法,乙有种排法,其余有种排法,综上共有(+ )= 287280(种)排法. (或者)-2+=287280(种)
(或者)-2 -=287280(种)
点睛:在处理排列问题时,要以两个原理为基础,确定好是分类还是分步,再用排列数表示每类或每步的个数,遇到特殊元素或特殊位置可用以下常见思路解决.一般情况下,会从受到限制的特殊元素开始考虑,有时也从特殊的位置开始讨论,对于相邻问题,常用”捆绑法”;对于不相邻问题,常用”插空法”(特殊元素后考虑),对于”在”与”不在”的问题,常常使用”直接法”或”排除法”(特殊元素先考虑).
19. (本小题满分12分)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,若右焦点到直线x-y+2=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.
参考答案:
(2)设P为弦MN的中点.由得(3k2+1)x2+6kmx+3(m2-1)=0.(6分)
由Δ>0,得m2<3k2+1 ①,(8分)∴xP=,从而,yP=kxp+m=.
∴kAP=.由MN⊥AP,得 =-,即2m=3k2+1 ②.(10分)
将②代入①,得2m>m2,解得0<m<2.由②得k2=>0.解得m>.
故所求m的取值范围为(,2).(12分)
20. (本小题满分12分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学. 在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
参考答案:
(1)49/60
(2)
x
0
1
2
3
P
1/6
1/2
3/10
1/30
21. 已知椭圆,经过点(3,—2)与向量(—1,1)平行的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又
(I)求椭圆C长轴长的取值范围;(II)若,求椭圆C的方程.
参考答案:
(I)设直线l与椭圆C交于点.
由
将 ①
由韦达定理,知
得 ④
对方程①由 ⑤
将④代入⑤,得意
又由及④,得
因此所求椭圆长轴长的取值范围是
(II)由(I)中②③得,
⑥
联立④⑥,解得∴椭圆C的方程为
22. (15分)已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上,且与直线x+y﹣1=0相切于点P(3,﹣2).
(Ⅰ)求圆C方程;
(Ⅱ)是否存在过点N(1,0)的直线l与圆C交于E、F两点,且△OEF的面积是2(O为坐标原点).若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)过切点P(3,2)且与x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5,与直线y=﹣4x联立,解得圆心为(1,﹣4),由此能求出圆的方程.
(Ⅱ)当斜率不存在时,直线l方程为x=1,满足题意;当斜率存在时,设直线l的方程为 y=k(x﹣1),由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k.从而所求的直线方程为x=1.
【解答】解:(Ⅰ)过切点P(3,2)且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3,即y=x﹣5.(1分)
与直线y=﹣4x联立,解得x=1,y=﹣4,
∴圆心为(1,﹣4),…(2分)
∴半径r==2,
∴所求圆的方程为(x﹣1)2+(y+4)2=8.…
(Ⅱ)①当斜率不存在时,此时直线l方程为x=1,
原点到直线的距离为d=1,
同时令x=1代入圆方程得y=﹣4,∴|EF|=4,
∴S△OEF=满足题意,
此时方程为x=1.…(8分)
②当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣1),
圆心C(1,﹣4)到直线l的距离d=,…(9分)
设EF的中点为D,连接CD,则必有CD⊥EF,
在Rt△CDE中,DE==,
∴EF=,原点到直线l的距离=,…(10分)
∴S△OEF=?=2,…(12分)
整理,得3k2+1=0,不存在这样的实数k.
综上所述,所求的直线方程为x=1.…(14分)
【点评】本题考查圆的方程的求法,考查直线方程存在性的讨论及其求法,具有一定的探索性,对数学思维的要求较高,解题时要注意分类讨论思想的合理运用.