辽宁省沈阳市第一零七中学2023年高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
在△ABC中,已知D是AB边上一点,若,,则λμ=( )
A、 B、 C、- D、-
参考答案:
答案:A
2. 如图,若程序框图运行后输出的结果是57,则判断框中应填入的条件是( )
A.A<4 B.A<5 C.A≤5 D.A≤6
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行过程,即可得出判定框中应填的条件是什么.
【解答】解:由A=1,B=1,满足条件,得出A=2,B=2×1+2=4;
由A=2,B=4,满足条件,得出A=3,B=2×4+3=11;
由A=3,B=11,满足条件,得出A=4,B=2×11+4=26;
由A=4,B=26,满足条件,得出A=5,B=2×26+5=57;
由A=5,B=57,不满足条件,终止循环,输出B=57.
因此判定框中应为A<5.
故选:B.
3. 在三棱锥中,,二面角的余弦值是,若都在同一球面上,则该球的表面积是( )
(A) (B) (C) (D) 6
参考答案:
D
略
4. 已知、分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一动点,圆与的延长线、的延长线以及线段相切,若为其中一个切点,则 ( )
A. B.
C. D.与2的大小关系不确定
参考答案:
A
略
5. 数列3,5,9,17,33,…的通项公式等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 设圆锥曲线的两个焦点分别为、,若曲线上存在点满足::=4:3:2,则曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 将函数的图象向右移动个单位长度,所得的部分图象如右图所示,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
考点:三角函数求角
【思路点睛】在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。
①已知正切函数值,选正切函数;
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好
8. 二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大,且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍,则ab的值为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
参考答案:
B
9. 若函数在上单调递增,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 函数的图象大致是
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△中, ,,则 ;的最小值是 .
参考答案:
12. 已知集合,,
(1)若,求;
(2)若,求实数a的取值范围.
参考答案:
略
13. 已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为 。
参考答案:
0.6
略
14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的总数为 .
参考答案:
30
考点:计数原理的应用.
专题:计算题.
分析:由题意知本题可心先做出所有情况,再减支渠不合题意的结果,用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是,顺序有种,而甲、乙被分在同一个班的有种,两个相减得到结果.
解答: 解:∵每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到一个班,
用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是,
顺序有种,而甲、乙被分在同一个班的有种,
∴不同的分法的总数为:
=30.
故答案为:30.
点评:本题考查排列组合的实际应用,考查利用排列组合解决实际问题,是一个基础题,这种题目是排列组合中经常出现的一个问题.
15. .
参考答案:
π+2
16. 如下图,是圆的切线,切点为,点、在圆上,,
,则圆的面积为 .
参考答案:
略
17. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为( ),曲线C在点(2,)处的切线为l,以极点为坐标原点,以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则l的直角坐标方程为 ▲ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
从广州某高校男生中随机抽取名学生,测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:
分组
频数
频率
合计
表1
(1)求的值;
(2)按表1的身高组别进行分层抽样, 从这名学生中抽取名担任广州国际马拉松志愿者, 再从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作, 求这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率.
参考答案:
(1),,;(2).
试题分析:(1)先利用频率之和为1求出的值,再利用求出的值,进而利用频数之和为100求出的值;(2)利用列举法写出从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作的所有基本事件,并从中找出这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的基本事件,利用古典概型公式求出概率.
试题解析:(1)解:由,得. …………………………1分
由,得, …………………………2分
由,得. …………………………3分
(2)解:依据分层抽样的方法,抽取的名志愿者中身高在区间上的有名,记为; …………………………………………5分
而身高在区间上的有名,记为. ……………………7分
记“这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm”为事件,
从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作,共有种不同取法:,,,,. …………………………9分
事件包含的基本事件有种:,,,,. …………………………11分
∴为所求. …………………………12分
考点:1、频率分布表;2、古典概型;3、分层抽样.
19. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(1)设函数 .求不等式 的解集.
(2)若a,b,c都为正实数,且满足a+b+c=2.证明: .
参考答案:
20. 已知.
(I)求函数f(x)的最小值;
( II)(i)设0<t<a,证明:f(a+t)<f(a﹣t).
(ii)若f(x1)=f(x2),且x1≠x2.证明:x1+x2>2a.
参考答案:
考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
专题:综合题.
分析:(Ⅰ)确定函数的定义域,并求导函数,确定函数的单调性,可得x=a时,f(x)取得极小值也是最小值;
(Ⅱ)(ⅰ)构造函数g(t)=f(a+t)﹣f(a﹣t),当0<t<a时,求导函数,可知g(t)在(0,a)单调递减,所以g(t)<g(0)=0,即可证得;
(ⅱ)由(Ⅰ),f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增,不失一般性,设0<x1<a<x2,所以0<a﹣x1<a,利用(ⅰ)即可证得结论.
解答: (Ⅰ)解:函数的定义域为(0,+∞).求导数,可得f′(x)=x﹣=.…
当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
当x=a时,f(x)取得极小值也是最小值f(a)=a2﹣a2lna.…
(Ⅱ)证明:(ⅰ)设g(t)=f(a+t)﹣f(a﹣t),则
当0<t<a时,g′(t)=f′(a+t)+f′(a﹣t)=a+t﹣+a﹣t﹣=<0,…
所以g(t)在(0,a)单调递减,g(t)<g(0)=0,即f(a+t)﹣f(a﹣t)<0,
故f(a+t)<f(a﹣t).…
(ⅱ)由(Ⅰ),f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增,
不失一般性,设0<x1<a<x2,
因0<a﹣x1<a,则由(ⅰ),得f(2a﹣x1)=f(a+(a﹣x1))<f(a﹣(a﹣x1))=f(x1)=f(x2),…
又2a﹣x1,x2∈(a,+∞),
故2a﹣x1<x2,即x1+x2>2a.…
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性、极值、最值,考查不等式的证明,解题的关键是构造函数,确定函数的单调性.
21. 不等式选讲
设函数.
(I)解不等式;
(II)求函数的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)令,则
...............3分
作出函数的图象,它与直线的交点为和.
所以的解集为.
(Ⅱ)由函数的图像可知,当时,取得最小值.
略
22. 已知为定义在上的奇函数,当时,函数解析式为
。
求b的值,并求出在上的解析式。
求在上的值域。
参考答案:
略