湖北省武汉市黄陂区木兰乡塔耳中学2023年高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在数列{an}中，，，则
A. B. C. D.
参考答案：
A
试题分析：在数列中，
故选A.
考点：熟练掌握累加求和公式及其对数的运算性质
2. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就匀速跑步，等跑累了再匀速走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）高考资源网
A B C D高
参考答案：
D
3. 函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
参考答案：
B
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】由已知中函数，将x=﹣1代入，构造关于a的方程，解得答案．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣1）=2，
∴f[f（﹣1）]= = =1，
解得：a=﹣2，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．
4. 的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
A
5. 设集合，，，则
A. B. C. D.
参考答案：
B
6. 已知等差数列的公差，前项和为，若对所有的，都有，则（ ）．
A. B. C. D.
参考答案：
D
分析：由，都有，再根据等差数列的性质即可判断.
详解：由，都有，
，
，
故选：D.
7. 函数的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
8. 下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
9. 已知,则下列推证中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案：
C
10. 设集合,则满足的集合B的个数是（ ）
A．1 B.3 C.4 D.8
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，则____________．
参考答案：
12. 港口A北偏东方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31nmile,该轮船从B处沿正西方向航行20nmile后到D处，测得CD为21nmile,此时轮船离港口还有________nmile.
参考答案：
15
13. 在轴上的截距是5，倾斜角为的直线方程为 。
参考答案：
y=－x+5 。
14. 已知向量，，，若用和表示，则=____。
参考答案：
解析：设，则
15. （4分）Sn=1+2+3+…+n，则sn= ．
参考答案：
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用分组求和法进行求解即可．
解答： Sn=1+2+3+…+n=（1+2+3+…+n）+（++…+）
=+=，
故答案为：
点评： 本题主要考查数列求和的计算，利用分组求和法将数列转化为等比数列和等差数列是解决本题的关键．
16. 设全集U={x∈N*|x＜8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，则CU（A∪B）= ．
参考答案：
{6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】找出既属于集合A，又属于集合B的元素，求出两集合的并集，由全集中x的范围及x为正整数，求出x的值，确定出全集U，找出全集中不属于两集合并集的元素，即可确定出所求的集合．
【解答】解：∵A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，
∴A∪B={1，2，3，4，5，7}，
又全集U={1，2，3，4，5，6，7}，
则CU（A∪B）={6}．
故答案为：{6}
17. 若等比数列{an }满足，则q= 。
参考答案：
2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知，且a为第二象限角，计算：
(1) ；
(2).
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
（1）先利用同角基本关系式求出，再利用两角差余弦公式展开求解即可；
（2）利用倍角公式先化简上式，化成表示，再代入求值.
【详解】（1）∵，且为第二象限角，
∴
∴.
（2）
【点睛】本题主要考察三角函数的同角基本关系式，两角和差公式及倍角公式，及利用已学公式进行化简求值的问题。
19. （10分）已知夹角为，且，，求：
（1）； （2）与的夹角。
参考答案：
（1） （2）
20. （本小题满分13分）在中，角对的边分别为，且．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
参考答案：
21. 已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于任意，不等式f（sin2x）+f（2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
参考答案：
【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）由已知可得f（0）=0，求出a值，验证函数为奇函数即可；
（2）直接利用函数单调性的定义证明f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；
（3）由函数的奇偶性与单调性化不等式f（sin2x）+f（2﹣k）＜0为sin2x＞k﹣2，求出sin2x的最小值可得k的取值范围．
【解答】（1）解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，得a=1，
当a=1时，，满足==﹣f（x），
f（x）为奇函数，∴a=1；
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
==．
∵x1＜x2，∴，
又∵，
∴f（x1）＞f（x2），故f（x）为R上的减函数；
（3）解：∵对于任意，不等式f（sin2x）+f（2﹣k）＜0恒成立，
∴f（sin2x）＜﹣f（2﹣k），
∵f（x）为R上的奇函数，∴f（sin2x）＜f（k﹣2），
又f（x）为R上的减函数，∴时，sin2x＞k﹣2恒成立，
设t=2x，∴sin2x的最小值为，
∴，解得．
22. 求证：﹣2cos（α+β）=．
参考答案：
【考点】GJ：三角函数恒等式的证明．
【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）?sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．
【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα
=sin﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin=sinβ．
两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．
∴原式得证