福建省龙岩市长汀县涂坊中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 空间中有四点,,,,则两直线的夹角是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是 ( )
A. 27 B.72 C.36 D.24
参考答案:
A
3. 下列说法正确的是( )
A.若a<b,则am2<bm2.
B.命题“p或q”为真,且“p”为真,则q可真可假.
C.原命题“若x=2,则x2=4”,此命题的否命题为真命题.
D.命题“?x∈R使得2x<1“的否定是:“?x∈R均有2x>1”.
参考答案:
B
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】A,当m2=0时,则am2=bm2.
B,命题“p或q”为真,且“p”为真,则q可真可假.
C,原命题“若x=2,则x2=4”,此命题的否命题为:若x≠2,则x2≠4,此命题为假命题.
D,命题“?x∈R使得2x<1“的否定是:“?x∈R均有2x≥1”.
【解答】解:对于A,当m2=0时,则am2=bm2.故错.
对于B,命题“p或q”为真,且“p”为真,则q可真可假.正确.
对于C,原命题“若x=2,则x2=4”,此命题的否命题为:若x≠2,则x2≠4,此命题为假命题.故错
对于D,命题“?x∈R使得2x<1“的否定是:“?x∈R均有2x≥1”故错.
故选:B
4. 如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,别且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是
D
A
B
C
参考答案:
C
5. 已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前项和为286,则项数为( )
A.24 B.26 C.27 D.28
参考答案:
B
6. 直线的倾斜角,直线,则直线的斜率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 若函数,则
A. B. C.3 D.4
参考答案:
C
8. 如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为2,那么这个几何体的体积为( )
A. B. C. D. www.k@s@5@ 高#考#资#源#网
参考答案:
D
略
9. 已知命题p:存在实数使,命题q:存在实数,若p且q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 若函数在上单调递减,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=x2+2x+3在自变量x从1变化到3的过程中的平均变化率是 .
参考答案:
6
【考点】变化的快慢与变化率.
【分析】求出自变量x的改变量,求出函数值的改变量,由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案.
【解答】解:△x=3﹣1=2,
△y=32+6+3﹣(12+2+3)=12.
所以函数的平均变化率为=6.
故答案为:6.
12. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为公差的等差数列则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元
参考答案:
500
【详解】由题设,知获一、二、三等奖的概率分别为
.
由,得.
于是,.
又获一、二、三等奖的奖金分别为
.
故=500(元)
13. 正四棱锥的底面边长为,侧棱与底面所成角为,则正四棱锥的体积为_______;
参考答案:
14. 已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
参考答案:
2i
15. 五个不同的点最多可以连成线段的条数为 .
参考答案:
10
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【专题】计算题;转化思想;定义法;排列组合.
【分析】根据组合的定义即可求出.
【解答】解:五个不同的点最多可以连成线段的条数为C52=10,
故答案为:10
【点评】本题考查了简单的组合问题,属于基础题.
16. 空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球面的面积是 .
参考答案:
3πa2
【考点】球内接多面体.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,求出对角线长,即可求出球的表面积.
【解答】解:空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为,所以这个球面的面积.
故答案为:3πa2
【点评】本题是基础题,考查球的内接体知识,球的表面积的求法,考查空间想象能力,计算能力,分析出,正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在.
17. 已知命题命题则命题中真命题有_____________个.
参考答案:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 证明以下结论:
(1);(2).
参考答案:
证明:(1)要证,
只需要证明,
即,
从而只需证明,
即,这显然成立.
∴.(5分,论证过程正确即可,方法不唯一)
(2)要证,
需证明,
即
从而只需证明,
又,∴,
∴成立. (10分,论证过程正确即可,方法不唯一)
19. 已知两个定点,动点满足.设动点P的轨迹为曲线E,直线.
(1)求曲线E的轨迹方程;
(2)若l与曲线E交于不同的C,D两点,且(O为坐标原点),求直线l的斜率;
(3)若, Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究:直线MN是否过定点.
参考答案:
(1);(2);(3).
【分析】
(1)设点P坐标为(x,y),运用两点的距离公式,化简整理,即可得到所求轨迹的方程;(2)由,则点到边的距离为,由点到线的距离公式得直线的斜率;(3)由题意可知:O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上,设,则圆的圆心为运用直径式圆的方程,得直线的方程为,结合直线系方程,即可得到所求定点.
【详解】(1)设点的坐标为
由可得,,
整理可得
所以曲线的轨迹方程为.
(2)依题意,,且,则点到边的距离为
即点到直线的距离,解得
所以直线的斜率为.
(3)依题意,,则都在以为直径的圆上
是直线上的动点,设
则圆的圆心为,且经过坐标原点
即圆的方程为 ,
又因为在曲线上
由,可得
即直线的方程为
由且可得,解得
所以直线是过定点.
【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法,注意运用两点的距离公式,考查直线和圆相交的弦长公式,考查直线恒过定点的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
20. (10分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设=,=.
(1)求和的夹角的余弦值;
(2)若向量k+与k-2互相垂直,求实数k的值.
参考答案:
a=(-1+2, 1-0,2-2)=(1,1,0),
b=(-3+2,0-0,4-2)=(-1,0,2). ………2分
(1)
∴a和b的夹角的余弦值为. ………5分Ks5u
(2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4). ………7分
∴(k-1,k,2)·(k+2, k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,
即2k2+k-10=0,∴k=-或k=2. ………10分
21. 已知函数f(x)=ax3+3x+2(a∈R)的一个极值点是1.
(Ⅰ) 求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在[﹣2,3]上的最大值和最小值.
参考答案:
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(I)由于函数f(x)=ax3+3x+2(a∈R)的一个极值点是1.可得f′(1)=0,即可得到a.再利用导数的几何意义即可得出切线的斜率,进而得出切线方程.
(II)利用导数研究函数的单调性极值,再计算出区间端点的函数值即可比较出最值.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=ax3+3x+2,
∴f'(x)=3ax2+3.
∵函数f(x)的一个极值点是1,
∴f'(1)=3a+3=0.
解得:a=﹣1.
经检验,a=﹣1满足题意.
∴f(x)=﹣x3+3x+2,
∴f(2)=0,f'(2)=﹣9.
∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y=﹣9(x﹣2),即9x+y﹣18=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f'(x)=﹣3x2+3.
令f'(x)=0,得 x1=﹣1,x2=1.
当x在[﹣2,3]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表
x
﹣2
(﹣2,﹣1)
﹣1
(﹣1,1)
1
(1,3)
3
f'(x)
﹣
0
+
0
﹣
f(x)
4
↘
0
↗
4
↘
﹣16
∴函数f(x)在[﹣2,3]上的最大值为4,最小值为﹣16.
22. 已知函数,若存在,使,则称是函数的一个不动点.设二次函数.
(Ⅰ)对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若的图象上两点的横坐标是的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵函数恒有两个相异的不动点,
∴恒有两个不等的实根,对恒成立,
∴ ,得的取值范围为.……………4分
(Ⅱ)由得,
由题知,,……………6分
设中点为,则的横坐标为,……………10分
∴ ,
∴ ,当且仅当,即
时等号成立,∴ 的最小值为.……………12分
略