福建省漳州市青中学2023年高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的体积为( )
A. 2π B. C. D. 3π
参考答案:
C
【分析】
首先根据侧面展开图弧长等于底面周长,求得底面积.再利用勾股定理算得圆锥高,求得体积.
【详解】底面周长 ,底面半径
圆锥高为 , 即
答案为C
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图,抓住展开图和圆锥的线段长度关系是解题的关键.
2. 已知正实数x,y满足,若对任意满足条件的x,y,都有恒成立,则实数a的最大值为( )
A. B. 7 C. D. 8
参考答案:
B
【分析】
由 ,利用,求得,恒成立,等价于恒成立,令,利用单调性求出的最小值,进而可得结果.
【详解】 ,且,
故,整理即,
又均为正实数,故,
又对于任意满足的正实数,均有恒成立,
整理可得恒成立,令,
令,时
所以在上递增,
,因此,
实数的最大值为7,故选B.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(即可)或恒成立(即可);② 数形结合( 图象在 上方即可);③ 讨论最值或恒成立.
3. 在△ABC中,AB=,AC=1,,△ABC的面积为,则( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
参考答案:
C
试题分析:由三角形面积公式得,,所以.显然三角形为直角三角形,且,所以.
考点:解三角形.
4. 等差数列的前m项的和是30,前2m项的和是100,则它的前3m项的和是
A.130 B.170 C.210 D.260
参考答案:
C
5. 已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|x2+2x﹣3<0},则集合M∩N等于( )
A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣3<x<1} C.{x|﹣1<x<1} D.{x|﹣3<x<3}
参考答案:
C
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】先求出集合N,由此能求出M∩N.
【解答】解:∵集合M={x|﹣1<x<3},
N={x|x2+2x﹣3<0}={x|﹣3<x<1},
∴集合M∩N={x|﹣1<x<1}.
故选:C.
6. 下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是( ).
A.B.C.D.
参考答案:
C
解:由函数定义知,定义域内的每一个都有唯一数值与之对应,
,,选项中的图象都符合;项中对于大于零的而言,
有两个不同的值与之对应,不符合函数定义.
根据函数的定义中“定义域内的每一个都有唯一的函数值与之对应”判断.
故选.
7. (5分)已知函数f(x)=x+1(x<0),则f(x)的()
A. 最小值为3 B. 最大值为3 C. 最小值为﹣1 D. 最大值为﹣1
参考答案:
D
考点: 基本不等式.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 利用基本不等式即可得出.
解答: ∵x<0,∴函数f(x)=x+1=+1=﹣1,当且仅当x=﹣1时取等号.
因此f(x)有最大值﹣1.
故选:D.
点评: 本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.
8. 若sin2x>cos2x,则x的取值范围是( )
A.{x|2kπ﹣<x<2kπ+,k∈Z} B.{x|2kπ+<x<2kπ+,k∈Z}
C.{x|kπ﹣<x<kπ+,k∈Z} D.{x|kπ+<x<kπ+,k∈Z}
参考答案:
D
【考点】HA:余弦函数的单调性.
【分析】利用二倍角的余弦公式可得cos2x<0,所以, +2kπ<2x<+2kπ,k∈Z,从而得到x的范围.
【解答】解:由sin2x>cos2x得cos2x﹣sin2x<0,即cos2x<0,所以, +2kπ<2x<+2kπ,k∈Z,
∴kπ+<x<kπ+,k∈Z,
故选D.
9. 函数的部分
图象如图所示,则函数表达式为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
10. 球面上有A、B、C、D四个点,若AB、AC、AD两两垂直,且AB=AC=AD=4,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=的定义域为 .
参考答案:
[1,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据使函数f(x)=的解析式有意义的原则,构造不等式,解得函数f(x)=的定义域.
【解答】解:要使函数f(x)=的解析式有意义,
自变量x须满足:,
解得:x∈[1,+∞),
故函数f(x)=的定义域为:[1,+∞),
故答案为:[1,+∞)
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法,难度不大,属于基础题.
12. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意实数、满足:,,,,考察下列结论:
①;
②f(x)为偶函数;
③数列{bn}为等差数列;;
④数列{an}为等比数列,
其中正确的是__________.(填序号)
参考答案:
①③④
【分析】
令,得,令得,解得:,可知①正确;
用特例,,故不是偶函数,②错误;
令,可得:,两边同除以有:,符合等差数列定义,所以③正确
由③可得,,,所以,故数列是等比数列.所以④正确。
【详解】解:∵,,
∴,①正确;
,
∴,所以
故不是偶函数,
故②错;
因为,
所以
∴,∴是等差数列,③正确;
由③得:,,所以,,
故数列是等比数列,④正确.
故答案为:①③④
【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合运用,主要涉及了函数的奇偶性,赋值法,等差数列,等比数列的定义及通项,考查化归能力及计算能力,属于难题。
13. 在空间直角坐标系中,求P(3,-2,-4)到y轴的距离_______
参考答案:
5
P(3,-2,-4)到y轴的距离。
14. 函数的单调增区间是
参考答案:
15. 已知数列{an}的前n项和是Sn,且,则an=______.(写出两个即可)
参考答案:
或
【分析】
利用已知求的公式,即可算出结果。
【详解】(1)当,得,∴,∴.
(2)当时,,两式作差得,,化简得,
∴或,
即(常数)或,
当(常数)时,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,所以;
当时,数列是以1为首项,﹣1为公比的等比数列,所以.
【点睛】本题主要考查利用与的关系公式,即, 求的方法应用。
16. 已知非零向量,,若且,则 .
参考答案:
由题意,即,所以向量反向,
又由,所以,即,
所以,即,所以.
17. 当x∈{x|(log2x)2﹣log2x﹣2≤0}时,函数y=4x﹣2x+3的最小值是 .
参考答案:
5﹣
【考点】指、对数不等式的解法;函数的最值及其几何意义.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】化简集合{x|(log2x)2﹣log2x﹣2≤0},求出x的取值范围,
再求函数y的最小值即可.
【解答】解:因为{x|(log2x)2﹣log2x﹣2≤0}={x|(log2x+1)(log2x﹣2)≤0}
={x|﹣1≤log2x≤2}
={x|≤x≤4},
且函数y=4x﹣2x+3=22x﹣2x+3=+,
所以,当x=时,函数y取得最小值是
+=5﹣.
故答案为:5﹣.
【点评】本题考查了指数与对数不等式的解法与应用问题,解题的关键是转化为等价的不等式,是基础题目.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数f(x)=a﹣(a∈R).
(1)请你确定a的值,使f(x)为奇函数;
(2)用单调性定义证明,无论a为何值,f(x)为增函数.
参考答案:
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
(2)根函数单调性的定义进行证明即可.
【解答】解:(1)∵函数f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=a﹣=0,
∴a=1;
(2)证明:任取:x1<x2∈R,
∴f(x1)﹣f(x2)=a﹣﹣a+=2?
∵x1<x2,
∴,
又>0,,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在R上的单调递增.
19. (本题分两个小题,每小题6分,共12分)计算下列各式.
(1)
(2)
参考答案:
(1)原式
(2)原式
20. (本题满分14分)
对于在上有意义的两个函数与,如果对任意的,均有,则称与在上是接近的,否则称与在上是非接近的.现在有两个函数与,现给定区间.
(1)若,判断与是否在给定区间上接近;
(2)若与在给定区间上都有意义,求的取值范围;
(3)讨论与在给定区间上是否是接近的.
参考答案:
解:(1)当时,
令,当时,
即,与是否在给定区间上是非接近的. ………………4分
(2)由题意知,且,
,
………………4分
21. (本题12分)在中,角对应的边分别是。
证明:。
参考答案:
略
22. 已知函数f(x)=b?ax(a>0,且a≠1,b∈R)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)设g(x)=﹣,确定函数g(x)的奇偶性;
(2)若对任意x∈(﹣∞,1],不等式()x≥2m+1恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的判断.
【分析】(1)依题意,可得,解得:a=2,b=3,即f(x)=3?2x,故g(x)=﹣=﹣,利用g(x)+g(﹣x)=0可确定函数g(x)的奇偶性;
(2)任意x∈(﹣∞,1],不等式()x≥2m+1恒成立?2m+1≤[]min,x∈(﹣∞,1],利用指数函数的单调性可求得当x∈(﹣∞,1]时,[]min==,从而可求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=b?ax(a>0,且a≠1,b∈R)的图象经过点A(1,6),B(3,24),
∴,解得:a=2,b=3,
∴f(x)=3?2x,
又g(x)=﹣=﹣,
∴g(x)+g(﹣x)=+﹣×2=+﹣=﹣=0,
∴g(﹣x)=﹣g(x),
∴函数g(x)为奇函数;
(2)由(1)知,a=2,b=3,
∴对任意x∈(﹣∞,1],不等式()x≥2m+1恒成立?2m+1≤[]min,x∈(﹣∞,1],
∵y=为减函数,
∴当x∈(﹣∞,1]时,[]min==,
∴2m+1≤,
∴m≤﹣,
即实数m的取值范围为(﹣∞,﹣].