广西壮族自治区贵港市立志双语实验中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是奇函数,是偶函数,且,则( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
参考答案:
B
是奇函数,是偶函数,
由题可得:,解方程可得:
2. 函数在上的最小值为,最大值为2,则的最大值为
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 有以下命题:①对任意的都有成立;②对任意的都有等式成立;③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一;④若是钝角的二锐角,则。其中正确的命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
B
4. 不等式对恒成立,则的取值范围为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
5. {an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是( )
A.24 B.27 C.30 D.33
参考答案:
D
6. 在等比数列中,,则( )
A. B.27 C. D.
参考答案:
A
略
7. 函数的值域是
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示,那么ω等于 ( )
A.1 B.2 C. D.
参考答案:
B
9. 如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为4m2,互相平行的两个侧面的距离为 2m,则这个六棱柱的体积为( )
A.3m3 B.6m3 C.12m3 D.15m3
参考答案:
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由题意,设正六棱柱的底面边长为am;高为hm;从而可得2ah=4, a=2,求出a,h,从而求出这个六棱柱的体积.
【解答】解:由题意,设正六棱柱的底面边长为am,高为hm,
∵正六棱柱的最大对角面的面积为4m2,互相平行的两个侧面的距离为 2m,
∴2ah=4, a=2,
解得,a=,h=,
故V=Sh=6××()2×sin60°×=6(m3)
故选:B.
10. 设函数y=x3与y=()x的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
A
【考点】幂函数的图象;指数函数的图象与性质.
【分析】构造函数f(x)=x3﹣,利用零点存在定理判断即可.
【解答】解:令f(x)=x3﹣,
∵f′(x)=3x2﹣ln=3x2+ln2>0,
∴f(x)=x3﹣在R上单调递增;
又f(1)=1﹣=>0,
f(0)=0﹣1=﹣1<0,
∴f(x)=x3﹣的零点在(0,1),
∵函数y=x3与y=()x的图象的交点为(x0,y0),
∴x0所在的区间是(0,1).
故答案为:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知奇函数在上为增函数,在上的最大值为8,最小值为-1.则____________;
参考答案:
12. (5分)函数f(x)=的定义域是 .
参考答案:
(1,+∞)
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由对数式的真数大于0,根式内部的代数式大于等于0联立不等式组,求解x的取值集合得答案.
解答: 要使原函数有意义,则x﹣1>0,即x>1.
∴函数f(x)=的定义域是(1,+∞).
故答案为:(1,+∞).
点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式组的解法,是基础题.
13. 设则 .
参考答案:
∵g=ln<0,
∴g=e=.
14. 已知a=log32,那么log38-2log36的结果用a表示是___ ___
参考答案:
a—2
15. 已知函数则的值为__________.
参考答案:
-13
略
16. 如果是一个完全平方式,则m=____________。
参考答案:
2
略
17. ____▲______
参考答案:
-3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an}的首项为1,且,数列{bn}满足,,对任意,都有.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)令,数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围.
参考答案:
(1), ;(2)
试题分析:(1)由,得,又,两式相减得,整理得,即,又因为,,
利用累积法得,
从而可求出数学的通项公式为;
在数列中,由,得,且,
所以数学是以首项为,公比为的等比数列,从而数列的通项公式为.
(2)由题意得,
,
两式相减得,
由等比数列前项和公式可求得,
由不等式恒成立,得恒成立,
即()恒成立,
构造函数(),
当时,恒成立,则不满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,恒成立,则满足条件.
综上所述,实数的取值范围是.
试题解析:(1)∵,∴(),两式相减得,,
∴,即(),又因为,,从而
∴(),
故数列的通项公式().
在数列中,由,知数列是等比数列,首项、公比均为,
∴数列的通项公式.
(2)∴①
∴②
由①-②,得,
∴,
不等式即为,
即()恒成立.
方法一、设(),
当时,恒成立,则不满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,恒成立,则满足条件.
综上所述,实数λ的取值范围是.
方法二、也即()恒成立,
令.则,
由,单调递增且大于0,∴单调递增∴
∴实数λ的取值范围是.
考点:1.等差数列、等比数列;2.不等式恒成立问题.
19. (12分)下表给出了从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料(单位:厘米):
分组
人数
频率
[122,126)
5
0.042
[126,130)
8
0.067
[130,134 )
10
0.083
[134,138)
22
0.183
[138,142)
y
[142,146)
20
0.167
[146,150)
11
0.092
[150,154)
x
0.050
[154,158)
5
0.042
合计
120
1.00
(1)在这个问题中,总体是什么?并求出x与y的值;
(2)求表中x与y的值,画出频率分布直方图及频率分布折线图;
(3)试计算身高在146~154cm的总人数约有多少?
参考答案:
20. 求以为直径两端点的圆的方程。
参考答案:
21. 已知,函数,
(Ⅰ)当a=4时,写出函数y= f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当a=4时,求f(x)在区间[0,t](t>0)上的最大值;
(Ⅲ)设,函数f(x)在(p,q)上既有最大值又有最小值,请分别求出p,q的取值范围(用a表示).
参考答案:
(Ⅰ)当时,
由图像可得:单调增区间为(﹣∞,2],[4,+∞).…………………………………………….3分
(Ⅱ)∵
由()得:,
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,……………………………………………………….8分
(3),…
①当a>0时,图象如图1所示.
由得.
∴.…
②当a<0时,图象如图2所示.
由得.
∴.…………………………………………………………………….12分
22. 已知函数(p,q为常数)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)判断并用定义证明f(x)在(﹣1,1)上的单调性;
(Ⅲ)解关于x的不等式f(2x﹣1)+f(x)<0.
参考答案:
【考点】函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明.
【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)依题意,,解得p=1,q=0,可得函数的解析式.
(Ⅱ)利用函数的单调性的定义证明函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增.
(Ⅲ)原不等式可化为f(2x﹣1)<f(﹣x),根据函数f(x)在定义域(﹣1,1)上单调递增,可得,由此求得x的范围.
【解答】解:(Ⅰ)依题意,,解得p=1,q=0,所以.
(Ⅱ)函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,证明如下:
任取﹣1<x1<x2<1,则x1﹣x2<0,﹣1<x1x2<1,
从而f(x1)﹣f(x2)=﹣==<0,
所以f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增.
(Ⅲ)原不等式可化为:f(2x﹣1)<﹣f(x),即f(2x﹣1)<f(﹣x),
由(Ⅱ)可得,函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,所以,
解得,即原不等式解集为.
【点评】本题主要考查函数的单调性的判断和证明,利用函数的单调性解不等式,属于中档题.