海南省海口市昌江中学高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
首先计算出基本事件的个数,再计算出重卦恰有3个阳爻所包含的基本事件的个数,然后用古典概型概率计算公式直接计算求解即可.
【详解】所有重卦中随机取一重卦基本事件的个数为,重卦恰有3个阳爻所包含的基本事件的个数为,因此在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是,故本题选C.
【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式,正确计算出每个事件包含的基本事件的个数是解题的关键.
2. 正项等比数列{an}与等差数列{bn}满足且,则,的
大小关系为 ( )
A. = B.< C.> D.不确定
参考答案:
B
略
3. 已知若是的一个充分不必要条件,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 曲线=1与曲线=1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距,即可判断.
【解答】解:曲线=1表示焦点在x轴上,长轴长为10,短轴长为6,离心率为,焦距为8.
曲线=1(k<9)表示焦点在x轴上,长轴长为2,短轴长为2,
离心率为,焦距为8.
对照选项,则D正确.
故选D.
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查运算能力,属于基础题.
5. 使不等式成立的充分不必要条件是
A . 03
参考答案:
B
略
6. 已知周长为c,且它的内切圆半径为r,则三角形的面积为.类似地,若四面体的表面积为,内切球半径为,则其体积是( )
A. B. C.3 D.
参考答案:
B
7. 若,则的值是
A.1022 B.1024 C.2046 D.2048
参考答案:
C
8. 抛物线的焦点恰好与椭圆的一个焦点重合,则( )
参考答案:
C
略
9. 观察,,,由归纳推理可得:若函数在其定义域上满足,记为的导函数,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】F1:归纳推理.
【分析】由已知中,,,分析其规律,我们可以归纳推断出,奇函数的导数是偶函数,即可得到答案.
【解答】解:由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”,
∵若函数在其定义域上满足,
∴为奇函数,
∵为的导函数,
∴.
故选:.
10. 如果直线x+2y-1=0和kx-y-3=0互相垂直,则实数k的值为( ).
A.- B.-2 C.2 D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)有一段“三段论”推理是这样的:“对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点;因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.”以上推理中
(1)大前提错误
(2)小前提错误
(3)推理形式正确
(4)结论正确
你认为正确的序号为 _________ .
参考答案:
(1)(3)
12. 已知球的表面积为64π,用一个平面截球,使截面圆的半径为2, 则截面与球心的距离是 .
参考答案:
球的表面积为,则球的半径为,用一个平面截球,使截面球的半径为,截面与球心的距离是.
13. 在矩形ABCD中,对角线AC与相邻两边所成的角为α,β,则有cos2α+cos2β=1.
类比到空间中的一个正确命题是:在长方体ABCDA1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ= .
参考答案:
2
【考点】类比推理;棱柱的结构特征.
【分析】由类比规则,点类比线,线类比面,可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=2,解直角三角形证明其为真命题即可.
【解答】解:我们将平面中的两维性质,类比推断到空间中的三维性质.
由在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α,β,
则有cos2α+cos2β=1,
我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质,
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,如图
对角线AC1与过A点的三个面ABCD,AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α,β,γ,
∴cosα=,cosβ=,cosγ=,
∴cos2α+cos2β+cos2γ=,
令同一顶点出发的三个棱的长分别为a,b,c,则有cos2α+cos2β+cos2γ===2
故答案为:cos2α+cos2β+cos2γ=2.
14. 如图所示的数阵中,第64行第2个数字是________。
参考答案:
【分析】
从第2行开始,每一行的第2个数字的分母组成一个数列,得出数列则满足递推关系式,进而求得数列的通项公式,即可求解.
【详解】由题意,从第2行开始,每一行的第2个数字的分母组成一个数列,其中,
则满足,
则
当时,则,
所以第64行的第2个数字为.
【点睛】本题主要考查了数列的应用问题,其中解答中根据题意把从第2行开始,每一行的第2个数字的分母组成一个数列,求得数列的通项公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
15. 下列函数中:
(1)(2)(3)(4)(5),其中最小值为2的函数是 (填正确命题的序号)
参考答案:
(1)(3)
【考点】基本不等式;函数的最值及其几何意义.
【专题】转化思想;换元法;不等式.
【分析】由基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”,逐个选项验证可得.
【解答】解:(1)≥2=2,当且仅当|x|=即x=±1时取等号,故正确;
(2)==+≥2,但当=时,x不存在,故错误;
(3)≥2﹣2=2,当且仅当=即x=4时取等号,故正确;
(4)的x正负不确定,当x为负数时,得不出最小值为2,故错误;
(5),取等号的条件为sinx=即sinx=1,而当0<x<时sinx取不到1,故错误.
故答案为:(1)(3).
【点评】本题考查基本不等式求最值,“一正、二定、三相等”是解决问题的关键,属基础题.
16. 已知变量x,y满足约束条件,则的最小值为_______
参考答案:
-3
【分析】
作出满足不等式组的可行域,由可得可得为该直线在轴上的截距,
截距越大,越小,结合图形可求的最大值
【详解】作出变量,满足约束条件所表示的平面区域,如图所示:
由于可得,则表示目标函数在轴上的截距,截距越大,越小
作直线,然后把直线向平域平移,由题意可得,直线平移到时,最小,
由可得,此时.
故答案为:-3
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题.
17. 执行下列程序框图,如果输入的是6,那么输出的是 。
参考答案:
720。
该框图的功能是计算,即
∵ ∴。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分) 正数列{an}的前n项和为,且.
试求(Ⅰ)数列{}的通项公式;
(Ⅱ)设,{}的前n项和为,求证:.
参考答案:
19. (本小题满分13分)
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)画出散点图;
(2)若线性相关,则求出回归方程;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
(参考公式:,)
参考答案:
(1)画出散点图如图所示:……3分。
(2)由散点图可发现,y与x呈线性相关关系…………4分
……5分
…………6分
……7分
则……8分 ………9分
回归方程为………………10分
(3)当时,…………12分
即估计使用10时,维修费用约为12.38万元。…………13分
20. 已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)对于曲线上的不同两点,如果存在曲线上的点,且使得曲线在点处的切线,则称为弦的伴随直线,特别地,当时,又称为的—伴随直线.
①求证:曲线的任意一条弦均有伴随直线,并且伴随直线是唯一的;
②是否存在曲线,使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线?若存在,给出一条这样的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1)当时,没有极值;当时,的极大值为,没有极小值.(2)①详见解析,②的任意一条弦均有—伴随直线.
略
21. 抛物线的顶点在原点O,它与双曲线的一个交点是,且抛物线的准线经过双曲线的一个焦点且垂直于的实轴.
(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标;
(2)求双曲线C2的方程及其离心率e.
参考答案:
22. 已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y﹣1=0对称,圆心在第二象限,半径为
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】圆的标准方程;圆的切线方程.
【分析】(Ⅰ)由圆的方程写出圆心坐标,因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称,得到圆心在直线上代入得到①,把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②,①②联立求出D和E,即可写出圆的方程;
(Ⅱ)设l:x+y=a,根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可.
【解答】解:(Ⅰ)由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为(﹣,﹣)
∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称
∴点(﹣,﹣)在直线x+y﹣1=0上
即D+E=﹣2,①且=2②
又∵圆心C在第二象限∴D>0,E<0
由①②解得D=2,E=﹣4
∴所求圆C的方程为:x2+y2+2x﹣4y+3=0
(Ⅱ)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设l:x+y=a
∵圆C:(x+1)2+(y﹣2)2=2
∴圆心C(﹣1,2)到切线的距离等于半径,
即||=,∴a=﹣1或a=3
所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3
【点评】考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力,理解直线与圆相切即为圆心到直线的距离等于半径.