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湖南省娄底市涟源仙洞中学高三数学文模拟试卷含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 某企业投入100万元购入一套设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业( )年后需要更新设备. A. 10 B. 11 C. 13 D. 21 参考答案: A 由题意可知年的维护费用为,所以年平均污水处理费用为,由均值不等式得,当且仅当,即时取等号,所以选A. 2. 已知函数(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 ( ) A.0
B.< C. D. 参考答案: B 10. 若(1+2x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0+a1+a2+…+a7的值为( ) A.﹣2 B.﹣3 C.253 D.126 参考答案: C 【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用二项式定理可知,对已知关系式中的x赋值1即可求得a1+a2+…+a8的值. 【解答】解:∵(1+2x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8, ∴a8=2?C77?(﹣2)7=﹣256. 令x=1得:(1+2)(1﹣2)7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣3, ∴a1+a2+…+a7=﹣3﹣a8=﹣3+256=253. 故选:C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f=-f(x),且函数y=f为奇函数,给出以下四个命题: (1)函数f(x)是周期函数; (2)函数f(x)的图象关于点对称; (3)函数f(x)为R上的偶函数; (4)函数f(x)为R上的单调函数. 其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) 参考答案: (1)(2)(3) 12. 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于 . 参考答案: 180 13. 若非零向量,满足,则,的夹角的大小为__________. 参考答案: 【知识点】向量的夹角 F3 解析:,即,所以, ,的夹角为,故答案为. 【思路点拨】由可得,所以夹角为. 14. 如图,圆是的外接圆,过点的切线交的延长线于 点,,则的长为 . 参考答案: 15. “黑白配”游戏,是小朋友最普及的一种游戏,很多时候被当成决定优先权的一种方式.它需要参与游戏的人(三人或三人以上)同时出示手势,以手心(白)、手背(黑)来决定胜负,当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时,则这个人胜出,其他情况,则不分胜负.现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏.设甲乙丙三人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势,则一次游戏中甲胜出的概率是 参考答案: 16. 抛物线的焦点为,准线与轴交于点,过抛物线上一点(第一象限内)作的垂线,垂足为.若四边形的周长为16,则点的坐标为 . 参考答案: 17. 已知直线上的三点,向量满足,则函数的表达式为 参考答案: 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本题满分12分) 已知椭圆C:经过点 ,离心率 ,直线的方程为 . (1)求椭圆C的方程; (2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线与l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为,问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由. 参考答案: (1)由点在椭圆上得, ① ② 由 ①②得,故椭圆的方程为……………………4分 (2)假设存在常数,使得. 由题意可设 ③ 代入椭圆方程并整理得 设,则有 ④ ……………6分 在方程③中,令得,,从而 .又因为共线,则有, 即有 所以 = ⑤ 将④代入⑤得,又, 所以 故存在常数符合题意……………………………………………………………12分 19. (本小题满分12分) 如图,四边形与都是边长为的正方形,点E是的中点, (1) 求证:平面BDE; (2) 求证:平面⊥平面BDE (3) 求体积与的比值。 参考答案: (本题满分12分)证明:(1)设BD交AC于M,连结ME. ABCD为正方形,所以M为AC中点, E为的中点ME为的中位线 平面BDE. ……4分 (2) ……6分 (3) 略 20. (本题满分14分) 已知函数. (Ⅰ) 若为函数的零点,求的值; (Ⅱ) 求的极值; (Ⅲ) 证明:对任意正整数n,. 参考答案: (Ⅰ) 解:因为,所以, 解得. (Ⅱ) , 令,得,或,又的定义域为. ①当,即时,若,则,递增;若,则,递减;所以,无极小值. ②当,即时,若,则,递减;若,则,递增;若,则,递减; 所以, . ③当,即时,,在内递减,无极值. ④当,即时,若,则,递减;若,则,递增;若,则,递减; 所以,. (Ⅲ)由(Ⅱ)知当时,在上递减,∴,即, ∵,∴, ∴ , ∴. 21. (本小题满分12分) 已知函数的定义域为集合,函数的值域为集合 (Ⅰ)求集合,; (Ⅱ)若,求实数的取值范围. 参考答案: (1)集合:, 解得:或 集合B:图象单调递增,,则 ….8分 (2),由,结合数轴,或, 解得或. ….13分 22. 选修4-2:矩阵与变换 设矩阵. (I)若,求矩阵M的逆矩阵; (II)若曲线C:在矩阵M的作用下变换成曲线:, 求的值. 参考答案: 解:(I)当时,的行列式, 故所求的逆矩阵. (II)设曲线C上任意一点,它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点 ,则,即 又点在曲线上,所以,则, 即为曲线C的方程, 又已知曲线C的方程为, 比较系数可得,解得,∴.
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