福建省泉州市晋江市第二中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数(其中A>0,)的图象如图所示,为了得到图象, 则只需将的图象 ( )
A. 向右平移个长度单位 B. 向左平移个长度单位
C. 向右平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位
参考答案:
B
2. 已知正数的等比中项是2,且,则的最小值是( ▲ )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
略
3. 我国古代数学著作(算法统宗》中有这样一个问题(意为):“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.“那么,此人第4天和第5天共走路程是( )
A. 24里 B. 36里 C. 48里 D. 60里
参考答案:
B
【分析】
记每天走的路程里数为,可知是公比的等比数列,由,利用等比数列求和公式解得,利用等比数列的通项公式可得.
【详解】记每天走的路程里数为,可知是公比的等比数列,
由,得,解得:,
.
所以此人第4天和第5天共走了里,故选B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考属于中档题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型,数列中的五个基本量,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
4. 若变量满足约束条件,
则的最大值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 函数的图像为
参考答案:
A
略
6. 函数在区间上的值域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:,,当时,,递减,当时,,递增,,,,所以值域为.故选A.
考点:用导数求函数的值域.
7. 若集合则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
8. 若集合,,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断:
①FG∥平面AA1D1D; ②EF∥平面BC1D1;
③FG∥平面BC1D1; ④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
参考答案:
A
【考点】平面与平面平行的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】由FG∥BC1,BC1∥AD1,得FG∥AD1,从而FG∥平面BC1D1,FG∥平面AA1D1D;由EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,从而EF与平面BC1D1相交,进而平面EFG与平面BC1D1相交.
【解答】解:∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,
∴FG∥BC1,∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1,
∵FG?平面AA1D1D,AD1?平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故①正确;
∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,∴EF与平面BC1D1相交,故②错误;
∵E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,
∴FG∥BC1,∵FG?平面BC1D1,BC1?平面BC1D1,
∴FG∥平面BC1D1,故③正确;
∵EF与平面BC1D1相交,∴平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误.
故选:A.
10. 已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象在区间[0,]和[2a,]上均单调递增,则正数a的取值范围是( )
A.[,]B.[,π]C.[,π] D.[,]
参考答案:
B
【考点】正弦函数的单调性;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】求解出函数的单调增区间,根据在区间和上均单调递增建立关系可得答案.
【解答】解:由函数=2sin(2x﹣),
令2x﹣
得:≤x≤,k∈Z.
当k=0时,可得增区间为[,],
∵在区间和上均单调递增
则,
∴0<a≤π.
当k=1时,可得增区间为[,],
则2a,
∴a.
综上可得:π≥a.
故选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图P1是一块半径为1的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2, 然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得圆形P3,P4,…,Pn,…, 记纸板Pn的面积为Sn,则Sn=_____
参考答案:
12. 向量,,若向量,共线,且,则mn的值为 .
参考答案:
-8
13. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,若实数a满足f(log2)<f(﹣),则a的取值范围是 .
参考答案:
(0,)∪(,+∞)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可.
【解答】解:∵偶函数f(x)是[0,+∞)上单调递减,满足不等式f(log2)<f(﹣),
∴不等式等价为f(|log2|)<f(),
即|log2|>,
即log2>或log2<﹣,
即0<a<或a>,
故答案为:(0,)∪(,+∞).
14. 已知向量,,若,则 .
参考答案:
略
15. 若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 .
参考答案:
16. 某校高三年级的学生共1000人,一次测验成绩的分布直方图如图所示,现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样,抽取50人了解情况,则在80~90分数段应抽取人数为 .
参考答案:
20人
17. 有下列四个命题
①“若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤l,则有实根”的逆否命题
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题,
其中真命题为__________________.
参考答案:
①③
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 口袋中有n(n∈N*)个白球,3个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为X, 若,求:
(1)n的值;
(2)X的概率分布与数学期望.
参考答案:
解:(1)由题知
(2)由题知,X的可能取值为1,2,3,4,所以
所以,X的概率分布表为
X
1
2
3
4
P
所以
答X的数学期望是
略
19. 设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(﹣1,f(﹣1))
处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ)用a分别表示b和c;
(Ⅱ)当bc取得最小值时,求函数g(x)=﹣f(x)e﹣x的单调区间.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
【专题】综合题.
【分析】(Ⅰ)把(0,2a+3)代入到f(x)的解析式中得到c与a的解析式,解出c;求出f'(x),因为在点(﹣1,f(﹣1))处的切线垂直于y轴,得到切线的斜率为0,即f′(﹣1)=0,代入导函数得到b与a的关系式,解出b即可.
(Ⅱ)把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数,根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值,代入f(x)中得到函数的解析式,根据求导法则求出g(x)的导函数,将f′(x)和f(x)代入即可得到g′(x),然后令g′(x)=0求出x的值,利用x的值分区间讨论g′(x)的正负即可得到g(x)的增减区间.
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=ax2+bx+c得到f'(x)=2ax+b.
因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),故f(0)=c=2a+3,
又曲线y=f(x)在(﹣1,f(﹣1))处的切线垂直于y轴,故f'(﹣1)=0,
即﹣2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
故当时,bc取得最小值﹣.
此时有.
从而,g(x)=﹣f(x)e﹣x=(x2+x﹣)e﹣x,
所以
令g'(x)=0,解得x1=﹣2,x2=2.
当x∈(﹣∞,﹣2)时,g'(x)<0,故g(x)在x∈(﹣∞,﹣2)上为减函数;
当x∈(﹣2,2)时,g'(x)>0,故g(x)在x∈(﹣2,2)上为增函数.
当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,故g(x)在x∈(2,+∞)上为减函数.
由此可见,函数g(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣2)和(2,+∞);单调递增区间为(﹣2,2).
【点评】本题是一道综合题,要求学生会利用导数研究函数的单调性,会利用导数研究曲线上某点的切线方程.做题时注意复合函数的求导法则.
20. (14分)已知椭圆(>>0)的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程:
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-,0),点(0,)在线段的垂直平分线上,且=4,求的值.
参考答案:
(1)解:由,得,再由,得----2分
由题意可知, 解方程组 得---5分
所以椭圆的方程为 ---6分
(2)解:由(1)可知A(-2,0)。设B点的坐标为(x1,,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为, --7分 于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理,
得 ---8分,由得---9分
设线段AB是中点为M,则M的坐标为以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0)。线段AB的垂直平分线为y轴,于是
------11分
②当k时,线段AB的垂直平分线方程为
令x=0,解得 由
整理得
---13分,综上。--------14分
21. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
以极点为原点,以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,已知曲线C的极坐标方程为?=10,曲线C′的参数方程为(?为参数).
(I)判断两曲线C和C′的位置关系;
(Ⅱ)若直线l与曲线C和C′均相切,求直线l的极坐标方程。
参考答案:
22. (满分12分) 在中,A、B、C是三角形的三内角,是三内角对应的三边,已知
(I)求角A的大小;
(II)若求角B的大小。
参考答案: