福建省龙岩市大池中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数.则在单调递增区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知是两个不共线的单位向量,向量,且,
则的最小值是 ( )
A.1 B. C. D.2
参考答案:
C
3. 向量,,在正方形网格中的位置如图所示。若向量,则实数=( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
参考答案:
D
【分析】
建立平面直角坐标系,用坐标表示向量,,,根据,即可确定。
【详解】如图建立平面直角坐标系 ,
,,
即
故选D。
【点睛】解决本题的关键是建立直角坐标系,用坐标来表示向量,利用向量的坐标运算得到,属于基础题。
4. 将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到函数的图像,且满足,则φ的一个可能取值为
A. B. C.0 D.-
参考答案:
B
5. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=,b=1,则c=( )
A.1 B. 2 C . -1 D.
参考答案:
B
6. 已知,直线和是函数图象的两条相邻的对称轴,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,则f(﹣1)=( )
A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣2
参考答案:
A
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】由奇函数性质可得f(﹣1)=﹣f(1),再有已知表达式可求得f(1).
【解答】解:∵f(x)为奇函数,∴f(﹣1)=﹣f(1),
又x≥0时,f(x)=x2﹣2x,
∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(12﹣2×1)=1,
故选A.
【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用,属基础题,本题也可先利用函数的奇偶性求出x<0时的表达式再求值.
8. 已知集合,,则( )
A.(1,3) B.(1,3] C.[-1,2) D.(-1,2)
参考答案:
C
∵,∴,即,结合得,故选C.
9. 下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 11°”或“<”或“”或“”)
参考答案:
略
17. 若f(tanx)=sin2x,则f(﹣1)的值是 .
参考答案:
﹣1
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】令tanx=﹣1,则有x=kπ﹣或x=kπ+,从而解得sin2x=﹣1可得到结果.
【解答】解:令tanx=﹣1
∴x=kπ﹣或x=kπ+
∴sin2x=﹣1
即:f(﹣1)=﹣1
故答案为:﹣1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.
(1)求证:DE⊥BC;
(2)求三棱锥E﹣BCD的体积.
参考答案:
见解析
【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】证明题;数形结合;数形结合法;立体几何.
【分析】(1)取BC中点F,连结EF,AF,由直棱柱的结构特征和中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形,故DE∥AF,由等腰三角形的性质可得AF⊥BC,故DE⊥BC;
(2)把△BCE看做棱锥的底面,则DE为棱锥的高,求出棱锥的底面积和高,代入体积公式即可求出.
【解答】证明:(1)取BC中点F,连结EF,AF,则EF是△BCB1的中位线,∴EF∥BB1,EF=BB1,
∵AD∥BB1,AD=BB1,∴EF∥AD,EF=AD,∴四边形ADEF是平行四边形,∴DE∥AF,
∵AB=AC,F是BC的中点,∴AF⊥BC,∴DE⊥BC.
(2)∵BB1⊥平面ABC,AF?平面ABC,∴BB1⊥AF,
又∵AF⊥BC,BC?平面BCC1B1,BB1?平面BCC1B1,BC∩BB1=B,
∴AF⊥平面BCC1B1,∴DE⊥平面BCC1B1,
∵AC=5,BC=6,∴CF==3,∴AF==4,∴DE=AF=4
∵BC=BB1=6,∴S△BCE==9.
∴三棱锥E﹣BCD的体积V=S△BCE?DE==12.
【点评】本题考查了线面垂直的性质与判定,棱锥的体积计算,属于中档题.
19. 已知点及圆.
(1)设过点的直线与圆交于两点,当时,求以线段为直径的圆的方程;
(2)设直线与圆交于两点,是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)解:由于,而弦心距,所以.
所以为的中点.故以为直径的圆的方程为.
(Ⅱ)解:把直线即.代入圆的方程,消去,整理得.
由于直线交圆于两点,故,即-4a>0,解得.则实数的取值范围是.
设符合条件的实数存在,由于垂直平分弦,故圆心必在上.所以的斜率,而,所以.
由于,
故不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦
20. 奇函数是定义在上的减函数,且,求
(1) 实数m的值;(2)实数t的取值范围。(10分)
参考答案:
(1)由得。………………2分
(2)定义域为,不等式化为………………4分
∴ 满足条件①,②,③。………………7分
联立①②③,解得………………………10分
21. 已知函数.
(1)试判断f(x)的奇偶性,并证明;
(2)求使的x取值.
参考答案:
22. (本题满分8分) 已知函数,.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)若,求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)(4分)
=
∴的最大值为.
(Ⅱ)(4分) 因为,即
∴
∴.
略