辽宁省抚顺市榆树中学高三数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【分析】
若,则,利用均值定理可得,则,进而判断命题之间的关系.
【详解】若,则,
因为,当且仅当时等号成立,
所以,
因为,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选:A
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.
2. 曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A, △OAB (O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
参考答案:
C
3. 已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,且,,则下列命题中假命题是( )
A.若∥,则∥ B.若,则⊥
C.若,相交,则,相交 D.若,相交,则,相交
参考答案:
D
A正确,若∥,因为,所以,又,所以∥; B正确,若,设,在平面内作直线,使⊥,根据面面垂直的性质定理得⊥,又,所以∥,而,,所以,从而⊥; C正确,假设∥,因为,所以,又,所以∥, 这与已知,相交矛盾,从而,必相交; D错误,当,时,若,相交,则,相交或,异面。故选择D。
4. 设复数满足,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 若“0≤ x ≤4”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 ( ▲)
A.(0,2) B.[0,2] C.[-2,0] D.(-2,0)
参考答案:
B
6. 已知函数,若,则f(﹣a)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的值.
【专题】计算题.
【分析】利用f(x)=1+,f(x)+f(﹣x)=2即可求得答案.
【解答】解:∵f(x)==1+,
∴f(﹣x)=1﹣,
∴f(x)+f(﹣x)=2;
∵f(a)=,
∴f(﹣a)=2﹣f(a)=2﹣=.
故选C.
【点评】本题考查函数的值,求得f(x)+f(﹣x)=2是关键,属于中档题.
7. 若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件就退出循环,执行语句输出k,从而到结论.
【解答】解:当输入的值为n=5时,
n不满足上判断框中的条件,n=16,k=1
n不满足下判断框中的条件,n=16,
n满足上判断框中的条件,n=8,k=2,
n不满足下判断框中的条件,n=8,
n满足判断框中的条件,n=4,k=3,
n不满足下判断框中的条件,n=4,
n满足判断框中的条件,n=2,k=4,
n不满足下判断框中的条件,n=2,
n满足判断框中的条件,n=1,k=5,
n满足下面一个判断框中的条件,退出循环,
即输出的结果为k=5,
故选B.
【点评】本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题.
8. 设,则是 的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
9. 已知数列是等差数列,且,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:因为,所以,则
.故选A.
考点:1.等差数列的性质;2.二倍角公式的应用.
10. 观察下面关于循环小数化分数的等式:
据此推测循环小数 可化成分数
A. B. C. D.
一15
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义在上的偶函数满足,且在[-1,0]上为增函数,下面是关于的判断:①是周期函数;②的图象关于直线x=1对称;③在[0,1]上是增函数;④在[1,2]是减函数;⑤
其中正确的判断是 (把你认为正确的判断都填上)。
参考答案:
①②⑤
12. 已知为等差数列,++=9,=15,则 .
参考答案:
8
13. (坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的参数方程为(其中为参数,且),则曲线的极坐标方程为 ▲ .
参考答案:
14. 已知向量、满足||=5,||=3, ?=﹣3,则在的方向上的投影是 .
参考答案:
﹣1
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】则在的方向上的投影是,代入数值计算即可.
【解答】解:由向量、满足||=5,||=3, ?=﹣3
则在的方向上的投影是==﹣1,
故答案为:﹣1
【点评】本题考查向量投影的求法,属基础题.
15. 下图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图均是高为2,底边长为的等腰三角形,俯视图是边长为2的正方形,则该几何体的外接球的体积是__________.
参考答案:
由三视图可画出该几何体的直观图,如下图,三棱锥,顶点S在底面上的射影为D,且 ,四边形 为正方形,易得 的中点为三棱锥的外接球的球心,,所以外接球的半径为 ,体积为 .
16. 已知两曲线参数方程分别为
它们的交点坐标为____________
参考答案:
17. 等边△ABC的边长为2,则在方向上的投影为 .
参考答案:
﹣1
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】可求出向量AB,BC的数量积,由在方向上的投影为,计算即可.
【解答】解:∵ =||?||?cos(π﹣B)=2×2×(﹣cos)=﹣2,
∴在方向上的投影为==﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义,投影概念,注意向量的夹角,是一道基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. [选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+).倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点
(Ⅰ)写出直线l的参数方程的标准形式,并求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(I)由倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l的参数方程为:.曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+),展开:ρ2=2×(sinθ+cosθ),利用互化公式可得直角坐标方程.
(II)把直线l的参数方程代入圆C的方程为:t2﹣t﹣1=0,可得+=+==即可得出.
【解答】解:(I)由倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l的参数方程为:,化为:.
曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+),展开:ρ2=2×(sinθ+cosθ),可得直角坐标方程:x2+y2=2x+2y.
(II)把直线l的参数方程代入圆C的方程为:t2﹣t﹣1=0,
t1+t2=1,t1t2=﹣1.
∴+=+====.
19. 如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点F,与抛物线交于两点A,B,
(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;
(2)设C为抛物线弧AB上的动点(不包括A,B两点),求的面积S的最大值;
(3)设P是抛物线上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交抛物线的准线于M,N两点,证明M,N两点的纵坐标之积为定值(仅与p有关)
参考答案:
解:设
(1)由条件知直线由消去y,得………1分
由题意,判别式由韦达定理,
由抛物线的定义,从而所求抛物的方程为………3分
(2)设。由(1)易求得
则,点C到直线的距离
将原点O(0,0)的坐标代入直线的左边,得
而点C与原点O们于直线的同侧,由线性规划的知识知
因此……6分由(1),|AB|=4p。
由知当…8分
(3)由(2),易得设。
将代入直线PA的方程
得同理直线PB的方程为
将代入直线PA,PB的方程得
略
20. 已知向量,,函数,且的图像在轴上的截距为,与轴最近的最高点的坐标是.
(1)求和的值;
(2)将函数的图象向左平移()个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象,求的最小值.
参考答案:
(1),由,得,
此时,,代点,得到
∴,.
(2)由(1)知,
函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,
横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象,
所以(),()
因为,所以的最小值为.
21. 已知向量,
(1)求的最大值和最小值;
(2)若,求k的取值范围。
参考答案:
解:(1)
……………2分
22. 选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,以极点O为原点,极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)直线l与曲线C交于B,D两点,当|BD|取到最小值时,求a的值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(1)曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,即ρ2=6ρsinθ,利用互化公式可得直角坐标方程:x2+y2=6y,配方可得圆心C(0,3),半径r=3.直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t可得普通方程.
(2)由直线l经过定点P(1,2),此点在圆的内部,因此当CP⊥l时,|BD|取到最小值,利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得k1,即可得出.
【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,即ρ2=6ρsinθ,
化为直角坐标方程:x2+y2=6y,配方为:x2+(y﹣3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.
直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t可得:x﹣ay+2a﹣1=0.
(2)由直线l经过定点P(1,2),此点在圆的内部,
因此当CP⊥l时,|BD|取到最小值,则,解得k1=1.
∴,解得a=1.