2022-2023学年广东省汕头市珠池中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知解集A={y|y=2n(n∈N*)},B={y|y=2n+1,n∈N*},则AB中有____个元素。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
A
2. 下列说法中,正确的是 ( )
A.任何一个集合必有两个子集
B.若则中至少有一个为
C.任何集合必有一个真子集
D. 若为全集,且则
参考答案:
D
略
3. 下列说法正确的是
A.幂函数的图象恒过点 B.指数函数的图象恒过点
C.对数函数的图象恒在轴右侧 D.幂函数的图象恒在轴上方
参考答案:
C
4. 已知幂函数的图象关于原点对称,且在(0,+∞)上是减函数,若,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,3) B. C. D.
参考答案:
B
5. 如图,设P、Q为△ABC内的两点,且, =+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 如果两直线a∥b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.相交 B.b∥α或b?α C.b?α D.b∥α
参考答案:
B
【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】若两直线a∥b,且a∥平面α,根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理,分b?α和b?α两种情况讨论,可得b与α的位置关系
【解答】解:若a∥平面α,a?β,α∩β=b
则直线a∥b,故两直线a∥b,且a∥平面α,则可能b?α
若b?α,则由a∥平面α,
令a?β,α∩β=c
则直线a∥c,
结合a∥b,可得b∥c,由线面平行的判定定理可得b∥α
故两直线a∥b,且a∥平面α,则可能b∥α
故选:B
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系,熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理和性质定理是解答的关键.
7. 现用系统抽样方法从已编号(1﹣60)的60枚新型导弹中,随机抽取6枚进行试验,则所选取的6枚导弹的编号可能是( )
A.5,10,15,20,25,30 B.2,4,8,16,32,48
C.5,15,25,35,45,55 D.1,12,34,47,51,60
参考答案:
C
【考点】系统抽样方法.
【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计.
【分析】由系统抽样的特点知,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,这时间隔一般为总体的个数除以样本容量.从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的.
【解答】解:从60枚某型导弹中随机抽取6枚,
采用系统抽样间隔应为=10,
只有C答案中导弹的编号间隔为10,
故选:C.
【点评】一般地,要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本.
8.
如图I为全集,M,P,S是I的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,则经过年,当年该产品的产量y=( )
A B
C D
参考答案:
D
略
10. 若的120°终边上有一点,则a的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
由题得
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,,则________.
参考答案:
【分析】
首先利用同角三角函数的基本关系求出,再根据两角差的余弦公式计算可得;
【详解】解:因为,且,则,
故答案为:
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式,属于基础题.
12. 设定义在[﹣2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m﹣1)>0,则实数m的范围是 .
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行等价转化即可.
【解答】解:∵f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且f(x)在[0,2]上是减函数,
∴f(x)在[﹣2,0]也是减函数,
∴f(x)在[﹣2,2]上单调递减…
又f(m﹣1)+f(m)>0?f(m)>﹣f(m﹣1)=f(1﹣m),
即f(1﹣m)<f(m),
∴…
即:,所以…
故满足条件的m的值为…,
故答案为:.
13. 对于集合M,定义函数对于两个集合A,B,定义集合. 已知,,则用列举法写出集合的结果为 .
参考答案:
{1,6,10,12}
略
14. 372和684的最大公约数是
参考答案:
12
15. 已知f(x)=x2+1是定义在闭区间[﹣1,a]上的偶函数,则f(a)的值为 .
参考答案:
2
【考点】二次函数的性质.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据偶函数的对称性可知a=1,代入解析式计算即可.
【解答】解:∵f(x)=x2+1是定义在闭区间[﹣1,a]上的偶函数,∴a=1.∴f(a)=f(1)=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质,属于基础题.
16. 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C对应的边,若,则∠C= .
参考答案:
或
【考点】正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.
【分析】由正弦定理列出关系式,将a,b,sinB的值代入求出sinA的值,确定出A的度数,即可求出C的度数.
【解答】解:在△ABC中,a=,b=,B=,
∴由正弦定理可得:sinA===,
∵a>b,∴A>B,
∴A=或,
则C=π﹣A﹣B=或.
故答案为:或.
【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
17. 给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题:
①若,点,则与不共面;
②若是异面直线,,且,则;
③若,则;
④若,则
其中为真命题的是 (填序号)
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. c已知
(1)若,求;
(2)若,求。
参考答案:
解:(1)∵
∴
化简得,,∵ ∴
(2)∵ ∴
∴ ∴
∴
略
19. 如图所示,A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),C点坐标为(﹣2,0),平行四边形OAQP的面积为S.
(1)求?+S的最大值;
(2)若CB∥OP,求sin(2θ﹣)的值.
参考答案:
【考点】任意角的三角函数的定义;单位圆与周期性.
【分析】(1)求出A(1,0),B(0,1).P(cos θ,sin θ),然后求解?,以及平行四边形OAQP的面积,通过两角和与差的三角函数,以及正弦函数的值域求解即可.
(2)利用三角函数的定义,求出sinθ,cosθ,利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值.
【解答】解:(1)由已知,得A(1,0),B(0,1).P(cos θ,sin θ),因为四边形OAQP是平行四边形,
所以=+=(1+cosθ,sinθ).
所以?=1+cosθ.
又平行四边形OAQP的面积为
S=|?|sin θ=sin θ,
所以?+S=1+cosθ+sin θ=sin(θ+)+1.
又0<θ<π,
所以当θ=时, ?+S的最大值为+1.
(2)由题意,知=(2,1),=(cosθ,sinθ),
因为CB∥OP,所以cosθ=2sinθ.
又0<θ<π,cos2θ+sin2θ=1,
解得sin θ=,cos θ=,
所以sin2θ=2sin θcosθ=,cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=.
所以sin(2θ﹣)=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=.
20. 空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为60°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
参考答案:
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】取AC的中点G,连结EG、FG,则EG∥AB,GF∥CD,且由AB=CD知EG=FG,从而得到∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角,由此能求出EF与AB所成的角.
【解答】解:取AC的中点G,连结EG、FG,则EG∥AB,GF∥CD,
且由AB=CD知EG=FG,
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,
∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为60°,∴∠EGF=60°或120°.
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=60°时,∠GEF=60°;
当∠EGF=120°时,∠GEF=30°.
故EF与AB所成的角为60°或30°.
21. 已知圆C同时满足下列三个条件:①与y轴相切;②在直线y=x上截得弦长为2;③圆心在直线x-3y=0上. 求圆C的方程.
参考答案:
解:设所求的圆C与y轴相切,又与直线交于AB,∵圆心C在直线x-3y=0上,∴圆心C(3a,a),又圆与y轴相切,∴R=3|a|.又圆心C到直线y-x=0的距离|CD|=.∵在Rt△CBD中,R2?|CD|2=()2,∴9a2-2a2=7.a2=1,a=±1,3a=±3.∴圆心的坐标C分别为(3,1)和
(-3,-1),故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
略
22. 设全集,集合,.
(1)求
(2)若集合,满足求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)………………2分
………………4分
…………6分
(2) , ………………7分
………………8分
………………10分
略