2022-2023学年广西壮族自治区河池市北牙乡中学高二数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题p:?n∈N,n+<4,则?p为( )
A.?n∈N,n+<4 B.?n∈N,n+>4 C.?n∈N,n+≤4 D.?n∈N,n+≥4
参考答案:
D
【考点】命题的否定.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可.
【解答】解:命题为特称命题,根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定为:
?n∈N,n+≥4,
故选:D.
2. 若实数x、y满足不等式组则的取值范围是( )
A.[-1,] B.[] C.[,+∞) D.[,1)
参考答案:
D
3. 已知△ABC的三个顶点落在半径为R的球O的表面上,三角形有一个角为且其对边长为3,球心O到△ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的一半,点P为球面上任意一点,则P-ABC三棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
设外接圆的圆心为,则平面,所以,设外接圆的半径为,,利用正弦定理即可求得:,再利用截面圆的性质可列方程:,即可求得,即可求得点到平面的距离的最大值为,利用余弦定理及基本不等式即可求得:,再利用锥体体积公式计算即可得解。
【详解】设外接圆的圆心为,则平面,所以
设外接圆的半径为,,
由正弦定理可得:,解得:
由球的截面圆性质可得:,解得:
所以点到平面的距离的最大值为:.
在中,由余弦定理可得:
当且仅当时,等号成立,所以.
所以,当且仅当时,等号成立.
当三棱锥的底面面积最大,高最大时,其体积最大.
所以三棱锥的体积的最大值为
故选:C
【点睛】本题主要考查了球的截面圆性质,还考查了转化思想及正、余弦定理应用,考查了利用基本不等式求最值及三角形面积公式、锥体体积公式,还考查了计算能力及空间思维能力,属于难题。
4. 已知正方形ABCD的边长为2, H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P,则满足|PH|<的概率为
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,已知a=4,B=60°,C=75°,则b=( )
A.2 B.2 C.2 D.
参考答案:
B
【考点】余弦定理.
【分析】方法一,根据直角三角形的有关知识即可求出,
方法二,根据正弦定理即可求出.
【解答】解:法一:过点C作CD⊥AB,
∵B=60°,C=75°,
∴A=45°,
∴AD=CD,
∵BC=a=4,B=60°,
∴CD=asin60°=2,
∴b=AC==2,
法二:∵B=60°,C=75°,
∴A=45°,
由正弦定理可得=,
∴b===2,
故选:B
6. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有1个白球;都是白球
B.至少有1个白球;至少有1个红球
C.恰有1个白球;恰有2个白球
D.至少有一个白球;都是红球
参考答案:
C
【考点】互斥事件与对立事件.
【分析】由题意知所有的实验结果为:“都是白球”,“1个白球,1个红球”,“都是红球”,再根据互斥事件的定义判断.
【解答】解:A、“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,故A不对;
B、“至少有1个红球”包含“1个白球,1个红球”和“都是红球”,故B不对;
C、“恰有1个白球”发生时,“恰有2个白球”不会发生,且在一次实验中不可能必有一个发生,故C对;
D、“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,与都是红球,是对立事件,故D不对;
故选C.
7. 原点和点(1,1)在直线两侧,则的取值范围是( )
A.或 B. C.或 D.
参考答案:
B
8. 已知圆的标准方程为,则此圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 已知x>0,y>0,x+y+=2,则x+y的最小值是( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
C
【考点】7G:基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】利用基本不等式,结合条件,即可得出结论.
【解答】解:∵x>0,y>0,x+y+=2,
∴由基本不等式可得x+y+=2≤x+y+,
∴x+y≥.
故选:C.
【点评】本题考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,正确运用基本不等式是解题的关键.
10. 用反证法证明“如果,那么”时,反证假设的内容应是( )
A. B.
C.或 D. 且
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设S为复数集C的非空子集.若对任意,都
有,则称S为封闭集.下列命题:
① 集合S={a+bi|(为整数,为虚数单位)}为封闭集;
② 若S为封闭集,则一定有;
③封闭集一定是无限集;
④若S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.
其中真命题是 (写出所有真命题的序号)
参考答案:
①②
略
12. 如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是__________。
参考答案:
x+2y-8=0
13. 已知椭圆的短半轴长为1,离心率e满足,则长轴长的取值范围是______.
参考答案:
【分析】
将用表示出来,然后根据的范围求解即可得到结论.
【详解】∵b=1,
∴,
又,
∴,
∴,整理得,
解得.
∴,
∴长轴长的取值范围为.
故答案为.
【点睛】本题考查椭圆中基本量间的运算,解题时注意灵活运用和间的关系,属于基础题.
14. 设函数f(x)=sin(2x+)(x∈[0,]),若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3的值为 .
参考答案:
【考点】54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】作出f(x)的函数图象,根据图象的对称性得出结论.
【解答】解:作出f(x)在[0,]上的函数图象如图所示:
由图可知:x1,x2关于直线x=对称,x2,x3关于直线x=对称,
∴x1+x2=,x2+x3=,
∴x1+2x2+x3==.
故答案为:.
15. 不等式的解集是
参考答案:
(-1,3]
略
16. 如果AC<0,BC>0,那么直线不通过第_____________象限;
参考答案:
略
17. 已知单位向量和的夹角为,则= .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)
已知复数,=2,是虚部为正数的纯虚数。
(1)求的模;(2)求复数。
参考答案:
解:(1)||=||||=||||=8;
(2)是虚部为正数的纯虚数
∴=
===
设复数=()
解之得或
∴
略
19.
参考答案:
(2)∵平面平面
平面平面=BC
AF平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC ……9分
又∵, ABAF=A, AB.AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB
又∵SA平面SAB∴BC⊥SA ……12分
略
20. 如图,△ABC的外接圆为⊙O,延长CB至Q,再延长QA至P,且QA为⊙O的切线
(1)求证:QC2﹣QA2=BC?QC
(2)若AC恰好为∠BAP的平分线,AB=10,AC=15,求QA的长度.
参考答案:
【考点】与圆有关的比例线段.
【专题】证明题;选作题;转化思想;综合法;推理和证明.
【分析】(1)由切线定理得QA2=QB?QC,由此能证明QC2﹣QA2=BC?QC.
(2)由弦切角定理和角平分线性质得QC2=QA2=15QC,△QCA∽△QAB,由此能求出QA的长度.
【解答】证明:(1)∵QA为⊙O的切线,
∴QA2=QB?QC,
∵QC﹣QB=BC,
∴QC2﹣QA2=QC2﹣QB?QC=BC?QC.
解:(2)∵QA为⊙O的切线,∴∠PAC=∠ABC,
∵AC恰好为∠BAP的平分线,∴∠BAC=∠ABC,
∴AC=BC=15,
∴QC2=QA2=15QC,①
又由△QCA∽△QAB,得,②
联合①②,消掉QC,得:QA=18.
【点评】本题考查两线段平差等于两线段积的证明,考查线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意切线定理、弦切角定理的合理运用.
21. 已知函数,g(x)=x+lnx,其中a>0.
(1)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)通过、x=1是函数h(x)的极值点及a>0,可得,再检验即可;
(2)通过分析已知条件等价于对任意的x1,x2∈[1,e]都有[f(x)]min≥[g(x)]max.结合当x∈[1,e]时及可知[g(x)]max=g(e)=e+1.
利用,且x∈[1,e],a>0,分0<a<1、1≤a≤e、a>e三种情况讨论即可.
【解答】解:(1)∵,g(x)=x+lnx,
∴,其定义域为(0,+∞),
∴.
∵x=1是函数h(x)的极值点,
∴h′(1)=0,即3﹣a2=0.
∵a>0,∴.
经检验当时,x=1是函数h(x)的极值点,
∴;
(2)对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于
对任意的x1,x2∈[1,e]都有[f(x)]min≥[g(x)]max.
当x∈[1,e]时,.
∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数.
∴[g(x)]max=g(e)=e+1.
∵,且x∈[1,e],a>0.
①当0<a<1且x∈[1,e]时,,
∴函数在[1,e]上是增函数,
∴.
由1+a2≥e+1,得a≥,
又0<a<1,∴a不合题意;
②当1≤a≤e时,
若1≤x<a,则,
若a<x≤e,则.
∴函数在[1,a)上是减函数,在(a,e]上是增函数.
∴[f(x)]min=f(a)=2a.
由2a≥e+1,得a≥,
又1≤a≤e,∴≤a≤e;
③当a>e且x∈[1,e]时,,
∴函数在[1,e]上是减函数.
∴.
由≥e+1,得a≥,
又a>e,∴a>e;
综上所述:a的取值范围为.
22. 已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4.
(Ⅰ)求a+b的值;
(Ⅱ)求的最小值.
参考答案:
【考点】RK:柯西不等式在函数极值中的应用.
【分析】(Ⅰ)利用绝对值不等式,结合条件求a+b的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a+b=4,由柯西不等式求的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)因为f(x)=|x+a|+|x﹣b|≥|(x+a)﹣(x﹣b)|=a+b,
当且仅当﹣a≤x≤b时,等号成立,所以f(x)的最小值为a+b=4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a+b=4,由柯西不等式得.
即,当且仅当,即时,等号成立.
所以