2022-2023学年江苏省镇江市界牌中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若f(lgx)=x,则f(2)=( )
A.lg2 B.2 C.102 D.210
参考答案:
C
【考点】函数的值;对数的运算性质.
【分析】由已知得f(2)=f(lg102)=102.
【解答】解:∵f(lgx)=x,
∴f(2)=f(lg102)=102.
故选:C.
2. 函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1] B.[0,1] C.(﹣∞,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,0)∪[1,+∞)
参考答案:
B
【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】函数的定义域是一切实数,即mx2﹣6mx+m+8≥0对任意x∈R恒成立,结合二次函数的图象,只要考虑m和△即可.
【解答】解:函数y=的定义域是一切实数,即mx2+4mx+m+3≥0对任意x∈R恒成立
当m=0时,有3>0,显然成立;
当m≠0时,有
即
解之得 0<m≤1.
综上所述得 0≤m≤1.
故选B.
【点评】本题主要考查了二次型不等式恒成立问题,解题的关键是不要忘掉对m=0的讨论,同时考查了转化的思想,属于中档题.
3. 已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 已知的展开式中没有常数项,则n的最大值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
参考答案:
C
【分析】
利用二项式通项公式分类讨论:当(x+1)中取x时,式子展开式中无,所以中x的指数幂取不到-1,即 ;
当(x+1)中取1时, 式子展开式中无常数项,所以中x的指数幂取不到0即,n要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可.
【详解】因为的展开式中没有常数项;由二项式展开式的通项公式 可知
(1)当(x+1)中取x时,式子展开式中无, 所以中x的幂指数取不到-1,即;
(2)当(x+1)中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即 ,选项中的n要同时满足上面两个不等式,故选B.
【点睛】本题考查了二项式定理地应用,难度较高,解题中首先要根据题意进行分类讨论,确定后面式子中x的指数幂,再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组,有一定的难度,解题关键是对二项式定理的深度理解.
5. 下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有的几何体的表面都能展成平面图形
D.棱柱的各条棱都相等
参考答案:
B
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】从棱柱的定义出发判断A、B、D的正误,找出反例否定C,即可推出结果.
【解答】解:棱柱的侧面都是四边形,A不正确;
正方体和长方体都是特殊的四棱柱,正确;
所有的几何体的表面都能展成平面图形,球不能展开为平面图形,C不正确;
棱柱的各条棱都相等,应该为侧棱相等,所以D不正确;
故选B
6. 已知M(1,2),N(4,3)直线l过点P(2,﹣1)且与线段MN相交,那么直线l的斜率k的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) B.[﹣,] C.[﹣3,2] D.(﹣∞,﹣]∪[,+∞)
参考答案:
A
【考点】直线的斜率.
【分析】画出图形,由题意得 所求直线l的斜率k满足 k≥kPN 或 k≤kPM,用直线的斜率公式求出kPN和kPM的值,解不等式求出直线l的斜率k的取值范围.
【解答】解:如图所示:
由题意得,所求直线l的斜率k满足 k≥kPN 或 k≤kPM,
即 k≥=2,或 k≤=﹣3,
∴k≥2,或k≤﹣3,
故选:A.
7. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=,.若sin(A-B)+sinC=2sin2B,则a+b=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2
参考答案:
B
【分析】
由正弦定理和,可得,C是三角形的内角,可求出C,根据三角形内角和定理,利用二角和与差的正弦公式以及二倍角的正弦公式,对sin(A-B)+sinC=2sin2B,进行化简,得到,或,分类讨论,求出a+b的值.
【详解】由正弦定理可知: ,所以有
,而是三角形的内角,故,,所以,
sin(A-B)+sinC=2sin2B
当时,,,,
,
当时,由正弦定理可知: ,所以有,
由余弦定理可知: ,故本题选B.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理。
8. “”是函数在上为增函数的 ( )
(A)充分非必要条件 (B )必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
参考答案:
A
9. 在直角坐标系中,直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 函数的图象的大致形状是( )
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数为增函数,则实数a的取值范围是 _____________.
参考答案:
略
12. 若120°角的终边经过点,则实数a的值为_______.
参考答案:
.
【分析】
利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.
【详解】由诱导公式得,
另一方面,由三角函数的定义得,解得,故答案为:.
【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义,解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值,并利用三角函数的定义求参数的值,考查计算能力,属于基础题.
13. 已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣k有三个零点,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
(0,1)
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】写出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,根据零点个数得出g(x)在单调区间端点处的函数值符号,列不等式解出k的范围.
【解答】解:g(x)=f(x)﹣k=,
∴g(x)在(﹣∞,0)上为减函数,在[0,2)上为增函数,在[2,+∞)上为减函数.
且=1﹣k,g(0)=﹣k,g(2)=3﹣k, g(x)=﹣k,
∵函数g(x)=f(x)﹣k有三个零点,且g(x)为连续函数,
∴,解得0<k<1.
故答案为(0,1).
【点评】本题考查了函数的零点与函数单调性的关系,属于中档题.
14. 设函数,则______,方程的解为__________.
参考答案:
1, 4或-2
15. 已知,则的值为________________.
参考答案:
略
16. 已知函数图象对称中心和函数的图象的对称中心完全相同,若,则函数f(x)的取值范围是____________
参考答案:
【分析】
化简得到,根据对称中心相同得到,故,当,,得到范围.
【详解】,,两函数对称中心完全相同,故周期相同,
故,故,
当,,故.
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角函数的对称性,求函数解析式,值域,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
17. 设的最小值为__________
参考答案:
8
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(1)写出函数的单调区间
(2)若的最大值为64,求最小值
参考答案:
19. (本小题满分12分)已知函数,
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2)若a为锐角,且,求sina的值.
参考答案:
(1)
所以f(x)的最大值为2,最小正周期p……………………………………6分
(2)由得
∵0<a<,∴-<a-<,.
sina=sin[(a-)+]=sin(a-)cos+cos(a-)sin=……12分
20. (8分)如图,四棱锥的底面是正方形,,
点E在棱PB上
(1)求证:AC⊥平面PDB
(2)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小。
参考答案:
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵,
∴PD⊥AC,又BD∩PD=D ∴AC⊥平面PDB, 3分
(2)设AC∩BD=O,连接OE, 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角, 5分
又O,E分别为DB、PB的中点,
∴OE//PD,,
在Rt△AOE中,,
∴, 7分
即AE与平面PDB所成的角的大小为. 8分
21. 如图,圆C的圆心在x轴上,且过点(7,0),(5,2).
(1)求圆C的方程;
(2)直线l:与x轴交于点A,点D为直线l上位于第一象限内的一点,以AD为直径的圆与圆C相交于点M,N.若直线AM的斜率为-2,求D点坐标.
参考答案:
解:(1)由,可得两点中垂线方程为,当时得,
所以圆的方程为;
(2)因为为直径,所以,而直线的斜率为-2,所以,设点坐标为,则:,
:,由点在圆上可得:或,又因为点位于第一象限,.
22. 已知函数 f(x)=log2(1+x)﹣log2(1﹣x).
(1)求 f(x)的定义域;
(2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法.
【分析】(1)由对数的真数大于0,可得定义域;
(2)函数f(x)是奇函数,计算f(﹣x)+f(x)是否为0,即可得到结论.
【解答】解:(1)由得﹣1<x<1,
故定义域为(﹣1,1)…
(2)函数f(x)是奇函数,证明如下:
∵f(﹣x)+f(x)=log2(1﹣x)﹣log2(x+1)+log2(1+x)﹣log2(1﹣x)
=0,
所以,f(x)是奇函数…