2022-2023学年江西省上饶市永铜中学高一数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】观察图象的长度是四分之一个周期,由此推出函数的周期,又由其过点(,2)然后求出φ,即可求出函数解析式.
【解答】解:由图象可知:的长度是四分之一个周期
函数的周期为2,所以ω=
函数图象过(,2)所以A=2,并且2=2sin(φ)
∵,∴φ=
f(x)的解析式是
故选A.
2. 已知非空数集,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 设,则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 函数是定义域为R的奇函数,当时,,则当时,的表达式为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 设集合,则下列关系成立的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10=80,则a1+a13的值为( )
A.20 B.40 C.60 D.80
参考答案:
B
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】利用等差数列通项公式直接求解.
【解答】解:∵在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10=80,
∴a4+a6+a8+a10=2(a1+a13)=80,
解得a1+a13=40.
故选:B.
【点评】本题考查等差数列中两项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
7. 下列四组中的函数,表示同一个
函数的是( )
A., B.,
C., D.,
参考答案:
C
略
8. 设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A.f(x)f(﹣x)是奇函数 B.f(x)|f(﹣x)|是奇函数
C.f(x)﹣f(﹣x)是偶函数 D.f(x)+f(﹣x)是偶函数
参考答案:
D
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】令题中选项分别为F(x),然后根据奇偶函数的定义即可得到答案.
【解答】解:A中令F(x)=f(x)f(﹣x),则F(﹣x)=f(﹣x)f(x)=F(x),
即函数F(x)=f(x)f(﹣x)为偶函数,
B中F(x)=f(x)|f(﹣x)|,F(﹣x)=f(﹣x)|f(x)|,因f(x)为任意函数,故此时F(x)与F(﹣x)的关系不能确定,即函数F(x)=f(x)|f(﹣x)|的奇偶性不确定,
C中令F(x)=f(x)﹣f(﹣x),令F(﹣x)=f(﹣x)﹣f(x)=﹣F(x),即函数F(x)=f(x)﹣f(﹣x)为奇函数,
D中F(x)=f(x)+f(﹣x),F(﹣x)=f(﹣x)+f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)+f(﹣x)为偶函数,
故选D.
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断,同时考查了函数的运算.
9. 定义集合A、B的一种运算:,若,,则中的所有元素数字之和为 ( )
A.9 B. 14 C.18 D.21
参考答案:
B
10. 函数(,-<<)的部分图象如图所示,则,的值分别是( ).
A.2, - B.2,- C.4,- D.4,
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列命题:
1 存在实数,使;
2 函数是偶函数;
③是函数的一条对称轴的方程;
④若是第一象限的角,且,则.
其中正确命题的序号是 .
参考答案:
②③
12. 不等式的解集为___________.
参考答案:
(-3,2)
13. 已知A(1,1),B(3,4),C(2,0),向量与的夹角为θ,则tan2θ= .
参考答案:
.
【分析】根据平面向量的数量积与模长的定义,求出向量与的夹角余弦值,
再根据同角的三角函数关系与二倍角公式,计算即可.
【解答】解:A(1,1),B(3,4),C(2,0),
∴=(2,3),
=(1,﹣1),
∴?=2×1+3×(﹣1)=﹣1,
||==,
||==;
由向量与的夹角为θ,
∴cosθ===﹣,
sinθ==,
∴tanθ==﹣5,
∴tan2θ===.
故答案为:.
14. 已知等差数列{an},满足,其中P,P1,P2三点共线,则数列{an}的前16项和_____.
参考答案:
8
【分析】
根据平面向量基本定理先得到,再由等差数列的性质,以及求和公式,即可求出结果.
【详解】因为,其中,,三点共线,
所以;
因为为等差数列,所以,
因此数列的前项和.
故答案为8
【点睛】本题主要考查求数列的前项和,熟记平面向量基本定理,等差数列的性质以及求和公式即可,属于常考题型.
15. (5分)函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间上的最大值比最小值大,则a的值为 .
参考答案:
或
考点: 指数函数的图像与性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 当a>1时,函数f(x)在区间上单调递增,由f(2)﹣f(1)=,解得a的值.当 0<a<1时,函数f(x)在区间上单调递减,由f(1)﹣f(2)=,
解得a的值,综合可得结论.
解答: 解:由题意可得:
∵当a>1时,函数f(x)在区间上单调递增,
∴f(2)﹣f(1)=a2﹣a=,解得a=0(舍去),或a=.
∵当 0<a<1时,函数f(x)在区间上单调递减,
∴f(1)﹣f(2)=a﹣a2=,解得a=0(舍去),或a=.
综上可得,a=,或 a=.
点评: 本题主要考查指数函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
16. 函数的单调递增区间是 .
参考答案:
略
17. 计算 ▲ 结果用分数指数幂表示)。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直三棱柱ABC-中,,D,E分别为BC,的中点,的中点,四边形是边长为6的正方形.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
参考答案:
(1)连结,与交于O点,连结OD.
因为O,D分别为和BC的中点,
所以OD//。
又OD, ,
所以
(2)在直三棱柱中,
,
所以.
因为为BC中点,
所以又,
所以.
又
因为四边形为正方形,D,E分别为BC,的中点,
所以.
所以. 所以
(3)如图,以的中点G为原点,建立空间直角坐标系,
则A(0,6,4),E(3,3,0) ,C(-3,6,0) ,.
由(Ⅱ)知为平面的一个法向量。
设为平面的一个法向量,
由
令,则.
所以.
从而.
因为二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.
19. 已知函数f(x)=x2﹣4|x|+3,x∈R.
(1)判断函数的奇偶性并将函数写成分段函数的形式;
(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间;
(3)若函数f(x)的图象与y=a的图象有四个不同交点,则实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的图象;根的存在性及根的个数判断.
【专题】计算题;数形结合;函数思想;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)由f(﹣x)=f(x)得函数为偶函数,对x分类讨论:x≥0,x<0得分段函数的解析式;
(2)由分段函数分两种情况作二次函数的图象;
(3)由图象可知函数的单调区间及值域.
【解答】解:(1)因为函数的定义域为R,关于坐标原点对称,
且f(﹣x)=(﹣x)2﹣4|﹣x|+3=x2﹣4|x|+3=f(x),
故函数为偶函数.
f(x)=x2﹣4|x|+3=
(2)如图,
单调增区间为::[﹣2,0),[2,+∞),
单调减区间为(﹣∞,﹣2),[0,2].
(3)由函数的图象可知:函数f(x)的图象与y=a的图象有四个不同交点,则实数a的取值范围:(﹣1,3).
【点评】本题考查函数的图象及性质.考查数形结合思想,转化思想以及计算能力.
20. 已知函数有最大值,试求实数的值。
参考答案:
解析:
,对称轴为,
当,即时,是函数的递减区间,
得与矛盾;
当,即时,是函数的递增区间,
得;
当,即时,
得;
21. 已知常数且,在数列中,首项,是其前项和,且,.
(1)设,,证明数列是等比数列,并求出的通项公式;
(2)设,,证明数列是等差数列,并求出的通项公式;
(3)若当且仅当时,数列取到最小值,求的取值范围.
参考答案:
(1)证明见解析,;
(2)证明见解析,;(3).
【分析】
(1)令,求出的值,再令,由,得出,将两式相减得,再利用等比数列的定义证明为常数,可得出数列为等比数列,并确定等比数列的首项和公比,可求出;
(2)由题意得出,再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列,确定等差数列的首项和公差,可求出数列的通项公式;
(3)求出数列的通项公式,由数列在时取最小值,可得出当时,,当时,,再利用参变量分离法可得出实数的取值范围.
【详解】(1)当时,有,即,;
当时,由,可得,将上述两式相减得,
,,
且,
所以,数列是以,以为公比的等比数列,;
(2)由(1)知,
,由等差数列定义得,
且,所以,数列是以为首项,以为公差的等差数列,
因此,;
(3)由(2)知,,,
由数列在时取最小值,可得出当时,,当时,,
由,得,
得在时恒成立,
由于数列在时单调递减,则,此时,;
由,得,
得在时恒成立,
由于数列在时单调递减,则,此时,.
综上所述:实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列,证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明,同时也考查数列最值问题,需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题,利用参变量分离法可简化计算,考查化归与转化思想和运算求解能力,综合性较强,属于难题.
22. 当时,讨论关于的方程 实根的个数.
参考答案:
解:有方程可得 ………………1分
…………………………2分
…………………………3分
…………………………4分
…………………………5分
令①(
令② ……ks