2022年河北省承德市锦山中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若0＜x＜y＜1，0＜a＜1，则下列不等式正确的是（　　） A．3logax＜logay2 B．cosax＜cosay C．ax＜ay D．xa＜ya 参考答案： D 【考点】不等式的基本性质． 【专题】计算题；不等式． 【分析】利用幂函数的性质判断即可． 【解答】解：∵0＜x＜y＜1，0＜a＜1， ∴xa＜ya， 故选：D． 【点评】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握幂函数的单调性是解本题的关键． 2. 已知命题：使成立． 则为（      ） A．使成立        B．均成立 C．使成立             D．均成立 参考答案： D 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即． 3. 设圆锥曲线的两个焦点分别为、，若曲线上存在点满足：：=4：3：2，则曲线的离心率等于（  ） （A）  （B） （C）   （D） 参考答案： D 因为：：=4：3：2，所以设，，。因为，所以。若曲线为椭圆，则有即，所以离心率。若曲线为双曲线圆，则有即，所以离心率，所以选D. 4. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A. (－∞,－1] B. (－∞,2] C. [2,+∞) D. [－1,+ ∞) 参考答案： C 【分析】 先利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以，即实数的取值范围为，故选C. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及集合子集的定义，属于基础题. 5. 函数在区间上是增函数，且则（     ） A．  1            B．       C．-1         D．0 参考答案： A 略 6. 设实数满足，则的取值范围为（    ） A．        B．      C.         D． 参考答案： A 7. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） 　 A． y=|x+1| B． y= C． y=2﹣|x| D． y=log2|x| 参考答案： 略 8. 设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且，则（   ） A． B． C． D． 参考答案： C   9. 已知函数，若对任意的，在上总有唯一的零点，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 函数，可得， 所以由， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 在坐标系中画出和的图象，如图所示， 对任意的，在上总唯一的零点，可得， 可得，可得，即，故选C. 10. 某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为(     ) A．3+3 B．8+3 C．6+6 D．8+6 参考答案： B 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积 解答： 解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台， 下底面为边长为2的正方形，面积为4； 上底面为边长为1的正方形，面积为1； 左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为 右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为 故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3 故选：B 点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，其中满足不等式组，则的最小值为________。 参考答案： -4 略 12. 从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，则取出的非空子集中所有元素之和恰为5的概率为         . 参考答案： 13. 正项数列满足：   ▲   . 参考答案： 因为，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以，所以。 14. 实数x，y满足约束条件 ，若函数 的最大值为4，则实数a的值为__________． 参考答案： 略 15. 设函数 ，函数的零点个数为           个． 参考答案： 2 16. 按下图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是      . 参考答案： （28,57] 17. 已知向量,若，则k＝________. 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某地十余万考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分为6组：第一组[40，50），第二组[50，60），…，第六组[90，100]，作出频率分布直方图，如图所示 （I）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩； （II）现从及格的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？ 附： P（K2≥k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 参考答案： 【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（Ⅰ）根据题意，计算平均数即可； （Ⅱ）根据分层抽样原理计算从这四组中分别抽取的人数， 填写列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算平均数为 =（45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.025+85×0.01+95×0.005）×10=67；… （Ⅱ）[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]四组学生的频率之比为 0.3：0.25：0.1：0.05=6：5：2：1， 按分层抽样应该从这四组中分别抽取30，25，10，5人， 依题意，可得到以下列联表：   男生 女生 合计 优异 4 1 5 一般（及格） 32 33 65 合计 36 34 70 ， 对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关．… 19. 二次函数满足，且. (1）求的解析式； (2）在区间上，图象恒在直线上方，试确定实数取值范围. 参考答案： （1）由，可设 故 由题意得，，解得；故 (2）由题意得，  即 对恒成立 设，则问题可转化为 又在上递减，故， 故   20. 设函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围. 参考答案： (1),∴, ∴, . (2)由(1)知,, 的图象如图: 要使解集非空,或, ∴. 21. 已知函数． （1）当时，判断函数的单调性； （2）当有两个极值点时， ① 求a的取值范围； ② 若的极大值小于整数m，求m的最小值． 参考答案： （1）由题． 方法1：由于，，， 又，所以，从而， 于是为(0,＋∞)上的减函数． 4分 方法2：令，则， 当时，，为增函数；当时，，为减函数． 故在时取得极大值，也即为最大值． 则．由于，所以， 于是为(0,＋∞)上的减函数． 4分 （2）令，则， 当时，，为增函数；当时，，为减函数． 当x趋近于时，趋近于． 由于有两个极值点，所以有两不等实根， 即有两不等实数根（）． 则解得． 可知，由于，则． 而，即（#） 所以，于是，（*） 令，则（*）可变为， 可得，而，则有， 下面再说明对于任意，，． 又由（#）得，把它代入（*）得， 所以当时，恒成立， 故为的减函数，所以． 12分 所以满足题意的整数m的最小值为3. 22. （本小题满分12分） 已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8. （1）确定常数k，求an； （2）求数列的前n项和Tn。 参考答案：   【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.