福建省龙岩市龙门中学2022年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从0~9中任选一个,
某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,
任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率为:
p==.
故选:C.
2. 一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为,则判断框中应填入的条件是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. 圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1,则a=( )
A.﹣ B.﹣C. D.2
参考答案:
A
【考点】圆的一般方程;点到直线的距离公式.
【分析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案.
【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为:(1,4),
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1,
解得:a=,
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程,点到直线的距离公式,难度中档.
4. 已知圆的圆心是直线与轴的交点,
且圆与直线 相切,则圆的方程是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 直线与直线的位置关系是( )
A.平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D.重合
参考答案:
A
6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知抛物线的焦点为F,点A在C上,AF的中点坐标为(2,2),则C的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
由抛物线,可得焦点为,
点A在曲线C上,AF的中点坐标为,
由中点公式可得,可得,
代入抛物线的方程可得,解得,
所以抛物线的方程为,故选B.
8. 已知z=2x+y,其中x,y满足,且z的最大值是最小值的4倍,则m的值是
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知函数,则( )
A.1 B. 2 C. 3 D.4
参考答案:
B
10. 某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )
A. 4 B. C. D.
参考答案:
D
几何体为一个四棱锥,其中高为2,底面为边长为2的正方形,因此体积为 ,选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案:
略
12. 已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.
参考答案:
略
13. 在数列中,,,是数列的前项和,当不等式恒成立时,的所有可能取值为 .
参考答案:
或或
试题分析:由得,即,所以数列是以为首项、为公比的等比数列,所以,由,,所以
即,当时,该不等式不成立,当时有恒成立,
当时,,,这时,当时,,,这时或,当时,不成立,所以的所有可能取值为或或.
考点:1.数列的递推公式;2.等差数列的定义与求和公式;3.不等式恒成立问题.
【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题,属难题;数列的递推公式一直是高考的重点内容,本题给出的递推公式非常复杂,很难看出其关系,但所要求的数列的和给出了我们解题思路,即在解题中强行构造数列是解题的关键,然后根据不等式恒成立分类讨论求解,体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.
14. 已知函数若方程恰有两个不同的实数根,则的最大值是______.
参考答案:
【分析】
不妨设 ,则,令,可得,利用导数研究函数的单调性,根据单调性可得结果.
【详解】
作出函数图象如图所示,
由,可得, 即,
不妨设 ,则,
令,则,
,令,则,
当 时,,在上递增;
当时,,在上递减;
当时,取得最大值,
故答案为.
【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系,考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值,属于难题.求函数极值与最值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数;(3) 解方程求出函数定义域内的所有根;(4)判断在的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么在处取极小值. (5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值;(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
15. 函数f(x)=的定义域为______________.
参考答案:
略
16. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆的
极坐标方程为,过极点的一条直线与圆
相交于、两点,且,则 .
参考答案:
17. 已知集合,对于数列中.
①若三项数列满足,则这样的数列有________.个
②若各项非零数列和新数列满足首项,(),且末项,记数列的前项和为,则的最大值为________.
参考答案:
① ②
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA1垂直于底面ABC,AA1=,D是CB延长线上一点,且BD=BC.
(1)求证:直线BC1∥平面AB1D;
(2)求三棱锥C1﹣ABB1的体积.
参考答案:
(1)证明:由三棱柱ABC﹣A1B1C1可知:BCB1C1,又D是CB延长线上一点,且BD=BC,故BDB1C1,则四边形BDB1C1为平行四边形.故BC1∥DB1.
又平面AB1D
且平面AB1D
故BC1∥平面AB1D.……………………………………………………………………6分
(2)由A点向BC作垂线,垂足记为E点,则AEBC.
又AA1底面ABC,且AA1∥CC1.故CC1底面ABC.
则CC1AE.故点A到平面BB1C1的距离为AE.
又ABC是边长为3的正三角形,故AE=
则=………………………12分
19. 已知无穷数列的前项和为,且满足,其中、、是常数.
(1)若,,,求数列的通项公式;
(2)若,,,且,求数列的前项和;
(3)试探究、、满足什么条件时,数列是公比不为的等比数列.
参考答案:
略
20. 如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是等腰直角三角形,且斜边AB=,侧棱AA1=2,点D为AB的中点,点E在线段AA1上,AE=λAA1(λ为实数).
(1)求证:不论λ取何值时,恒有CD⊥B1E;
(2)当λ=时,求多面体C1B﹣ECD的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)由已知可得CD⊥AB.再由AA1⊥平面ABC,得AA1⊥CD.利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1.进一步得到CD⊥B1E;
(2)当λ=时,.再由△ABC是等腰直角三角形,且斜边,得AC=BC=1.然后利用结合等积法得答案.
【解答】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,点D为AB的中点,∴CD⊥AB.
∵AA1⊥平面ABC,CD?平面ABC,∴AA1⊥CD.
又∵AA1?平面ABB1A1,AB?平面ABB1A1,AA1∩AB=A,
∴CD⊥平面ABB1A1.
∵点E在线段AA1上,∴B1E?平面ABB1A1,
∴CD⊥B1E;
(2)解:当λ=时,.
∵△ABC是等腰直角三角形,且斜边,∴AC=BC=1.
∴,
,
∴.
21. (14分)
如图, ABCD为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
AB=4a,BC= CF=2a, P为AB的中点.
(1)求证:平面PCF⊥平面PDE;
(2)求四面体PCEF的体积.
参考答案:
证明:
(1)因为ABCD为矩形,AB=2BC, P为AB的中点,
所以三角形PBC为等腰直角三角形,∠BPC=45°. …………………………2分
同理可证∠APD=45°.
所以∠DPC=90°,即PC⊥PD. …………………………3分
又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD内,所以PC⊥DE. ………………………4分
因为DE∩PD=D ,所以PC ⊥PDE . …………………………5分
又因为PC在平面PCF内,所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分
【解】(2)因为CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
所以DE//CF. 又DC⊥CF,
所以 ……………………… 10分
在平面ABCD内,过P作PQ⊥CD于Q,则
PQ//BC,PQ=BC=2a.
因为BC⊥CD,BC⊥CF,
所以BC⊥平面PCEF,即PQ⊥平面PCEF,
亦即P到平面PCEF的距离为PQ=2a. ………………………12分
………………………14分
(注:本题亦可利用求得)
22. (选修4—2:矩阵与变换) 设矩阵(其中),若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线,求的值.
参考答案:
略