辽宁省辽阳市五星镇中学2022年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x),当x≠0时,f′(x)+>0,若a=f(),b=﹣2f(﹣2),c=(ln)f(ln),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<a<b
参考答案:
A
考点: 导数的运算;利用导数研究函数的单调性.
专题: 导数的概念及应用.
分析: 利用条件构造函数h(x)=xf(x),然后利用导数研究函数h(x)的单调性,利用函数的单调性比较大小.
解答: 解:设h(x)=xf(x),
∴h′(x)=f(x)+x?f′(x),
∵y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,
∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数,
当x>0时,h'(x)=f(x)+x?f′(x)>0,
∴此时函数h(x)单调递增.
∵a=f()=h(),b=﹣2f(﹣2)=2f(2)=h(2),c=(ln)f(ln)=h(ln)=h(﹣ln2)=h(ln2),
又2>ln2>,
∴b>c>a.
故选:A.
点评: 本题主要考查如何构造新的函数,利用单调性比较大小,是常见的题目.本题属于中档题.
2. O为空间任意一点,若,则A,B,C,P四点( )
A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断
参考答案:
B
3. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.若sinB=,cosB=,则a+c=( )
A. B. C.3 D.2
参考答案:
C
【考点】余弦定理;同角三角函数基本关系的运用.
【分析】根据同角的三角关系式求出ac的值,结合余弦定理进行求解即可得到结论.
【解答】解:∵sinB=,cosB=,
∴sin2B+cos2B=1,
即()2+()2=1,
则()2=1﹣()2=()2,
∴ac=13,cosB==
∵a,b,c成等比数列,
∴ac=b2=13,
∵b2=a2+c2﹣2accosB,
∴13=(a+c)2﹣2ac﹣2ac×=(a+c)2﹣26﹣2×13×=(a+c)2﹣50,
∴(a+c)2=63,
即a+c==3,
故选:C.
4. 已知定义在(0,+∞)上的函数,,设两曲线与在公共点处的切线相同,则m值等于
A.5 B.3 C. -3 D. -5
参考答案:
D
5. 已知全集U=R,集合A=,
B=,那么集合
A、 B、 C、 D、
参考答案:
答案:D
6. 已知抛物线,直线倾斜角是且过抛物线的焦点,直线被抛物线截得的线段长是16,双曲线:的一个焦点在抛物线的准线上,则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是( )
A. 2 B. C. D. 1
参考答案:
D
抛物线的焦点为,由弦长计算公式有 ,所以抛物线的标线方程为,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为,即 ,所以 ,渐近线方程为,直线 方程为,所以点,点P到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选D.
点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.
7. 如图,PA垂直于正方形ABCD所在平面,则以下关系错误的是( )
A.平面PCD平面 B.平面PCD平面
C.平面平面PBC D.平面平面PAD
参考答案:
A
略
8. 已知是由正数组成的等比数列,表示的前项的和,若,,则的值是
(A) (B) 69 (C)93 (D)189
参考答案:
C
略
9. 平面向量满足,,,,则的最小值为( )
A. B. C. 1 D. 2
参考答案:
【答案解析】B解析:设,则有x=1,m=2,,得,所以,所以选B.
【思路点拨】在向量的计算中,若直接计算不方便,可考虑建立坐标系,把向量坐标化,利用向量的坐标运算进行解答.
10. 函数的定义域是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 .
参考答案:
12. 已知数列中,,则数列通项公式_______.
参考答案:
由已知可得,.
∵,,
∴,,
∴.
∴
.
∵,,.
13. 将的图像向右平移2个单位后得曲线,将函数的图像向下平移2个单位后得曲线,与关于轴对称.若的最小值为且,则实数的取值范围为 .
参考答案:
14. 已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是___________________
参考答案:
或
,即切线的斜率为,所以,因为,所以,即,所以,即的取值范围是。
15. 在中,A=300,AB=4, BC=2 则的面积为_________.
参考答案:
16. 设满足约束条件若目标函数的最大值为,则的最小值为_________.
参考答案:
9
考点:简单线性规划
17. 若实数满足不等式,则的取值范围是
参考答案:
[-,2)
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A,B两点,一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l:y=﹣c交于点P,Q.
(1)若?=2,求c的值;
(2)若c=1,P为线段AB的中点,求证:直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点.
(3)若c=1,直线QA的斜率存在,且与该抛物线有且仅有一个公共点,试问P是否一定为线段AB的中点?说明理由.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质;平面向量数量积的运算.
【分析】(1)设出直线AB:y=kx+c,代入抛物线的方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示,解方程可得c的值;
(2)运用中点坐标公式可得Q的坐标,运用两点的斜率公式,可得QA的斜率,求得抛物线对应函数的导数,可得切线的斜率,即可得证;
(3)设A(t,t2),这里xA=t≠0,由(2)知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2.求得Q的横坐标,P的横坐标,求得AC的方程,联立抛物线的方程,求得B的横坐标,运用中点坐标公式,即可判断P为线段AB的中点.
【解答】解:(1)设直线AB:y=kx+c,与y=x2联立,得x2﹣kx﹣c=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x2=﹣c,从而y1y2=x12x22=c2,
由?=2,可得c2﹣c=2得c=2或﹣1(舍去),
得c=2;
(2)证明:由(1)可得,
故直线PQ:x=,可得Q(,﹣1).
设,kQA==,
由(1)可得x1x2=﹣1,即有x2=﹣,
可得kQA==2x1,
由y=x2的导数为y′=2x,
可得过A的切线的斜率为2x1,
故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点;
(3)设A(t,t2),这里xA=t≠0,
由(2)知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2.
与y=﹣1相交,得xQ=,
故xP=, =(t,t2﹣1),
所以直线AC:y=(t﹣)x+1,与y=x2联立,得x2﹣(t﹣)x﹣1=0,
即(x﹣t)(x+)=0,故xB=﹣.
这样,即P是AB的中点.
19. 已知数列{an}的前n项和Sn满足:且
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1) 由且,得,解得
故 2分
当n=1时, 3分
当时, 5分
且当n=1时上式仍成立, 6分
(2) 9分
12分
20. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.
(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积;
(2)证明:A1C⊥平面AB1C1;
(3)若D是棱CC1的中点,在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面AB1C1,并证明你的结论.
参考答案:
(1)几何体的直观图如图.
四边形BB1C1C是矩形,BB1=CC1=,BC=1,四边形AA1C1C是边长为的正方形,且垂直于底面BB1C1C,
∴其体积V=×1××=.
(2)∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1,
∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥A1C.
∵四边形ACC1A1为正方形,∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1=C1,
∴A1C⊥平面AB1C1.
(3)当E为棱AB的中点时,
DE∥平面AB1C1.
证明:如图,取BB1的中点F,连结EF,FD,DE,
∵D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,∴EF∥AB1.
∵AB1?平面AB1C1,EF?平面AB1C1,
∴EF∥平面AB1C1.
同理可得FD∥平面AB1C1,
又EF∩FD=F,∴平面DEF∥平面AB1C.
而DE?平面DEF,∴DE∥平面AB1C1.
21. 已知函数是定义在上的偶函数,,其中均为常数。
(1)求实数的值;
(2)试讨论函数的奇偶性;
(3)若,求函数的最小值。
参考答案:
(1) ;(2) 当时,函数为偶函数,当时,函数为非奇非偶函数;(3)
解析:(1)由题意得……………………………………2分
解得……………………………………3分
(2)由(1)得
当时,函数为偶函数………………………………………………6分
当时,函数为非奇非偶函数………………………………………9分
(3)…………………………………10分
当时,函数在上单调递增,则………12分
当时,函数在上单调递减,则…………14分
综上,函数的最小值为。………………………………………………15分
略
22. (本小题14分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
(1)求证:BN;
(2);
(3)设M为AB中点,在BC边上求一点P,使MP//平面CNB1 求
参考答案:
解:(1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
∴BA,BC,BB1两两垂直。 ……………2分
以BA,BC,BB1分别为轴建立空间直角坐标系,则N(4,4,0),B1(0, 8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)