广东省广州市天翔职业高级中学高一数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数上的零点个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
2. 在公差为4的正项等差数列中,与2的算术平均值等于与2的几何平均值,其中 表示数列的前三项和,则为 ( )
A.38 B. 40 C. 42 D. 44
参考答案:
A
3. 在△ABC中,角A、B的对边分别为a、b,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
参考答案:
D
【分析】
四个选项角度均为锐角,则分别比较和之间、与之间的大小关系,从而得到三角形解的个数.
【详解】选项:,又 三角形有一个解,则错误;
选项: 三角形无解,则错误;
选项: 三角形有一个解,则错误;
选项:,又 三角形有两个解,则正确
本题正确选项:D
【点睛】本题考查三角形解的个数的求解,关键是能够熟练掌握作圆法,通过与、与之间大小关系的比较得到结果.
4. 函数f(x)=3sin(2x﹣)的图象为M,下列结论中正确的是( )
A.图象M关于直线x=对称
B.图象M关于点()对称
C.f(x)在区间(﹣,)上递增
D.由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可得M
参考答案:
C
【考点】H2:正弦函数的图象.
【分析】A:利用三角函数在对称轴处取得函数的最值,验证选项A
B:正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点,可验证选项B
C:令u=2x﹣,当﹣<x<时,﹣<u<,由于y=3sinu在(﹣,)上是增函数,利用复合函数的单调性可验证选项C
D:由于y=3sin2x的图象向右平移个单位得y=3sin2(x﹣)即y=3sin(2x﹣)的图象,验证选项D
【解答】解:选项A错误,由于f()=0≠±3,故A错.
选项B错误,由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点,因为f(﹣)=3sin(﹣2×﹣)=﹣,所以(﹣,0)不在函数图象上.此函数图象不关于这点对称,故B错误.
选项C正确,令u=2x﹣,当﹣<x<时,﹣<u<,由于y=3sinu在(﹣,)上是增函数,所以选项C正确.
选项D错误,由于y=3sin2x的图象向右平移个单位得y=3sin2(x﹣)即y=3sin(2x﹣)的图象而不是图象M.
故选:C.
5. 12个同类产品中含有2个次品,现从中任意抽出3个,必然事件是( )
A.3个都是正品 B.至少有一个是次品
C.3个都是次品 D.至少有一个是正品
参考答案:
D
A,B都是随机事件,因为只有2个次品,所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件,“至少有一个是正品”是必然事件.
6. 已知且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
7. 已知A(2,1),B(6,7),将向量 向量(2,3)平移后得到一个新向量 ,那么下面各向量中能与 垂直的是( )
A、(-3,-2) B、 C、(-4,6) D、(0,-2)
参考答案:
解析:由已知得 注意到若 垂直,则有6x+9y=0
由此否定A,C,D,应选B。
8. 在数列{an}中,a1=,a2=,anan+2=1,则a2016+a2017=( )
A. B. C. D.5
参考答案:
C
【考点】数列递推式.
【分析】a1=,a2=,anan+2=1,可得:a4n﹣3=,a4n﹣1=2,a4n﹣2=,a4n=3.即可得出.
【解答】解:∵a1=,a2=,anan+2=1,
∴a3=2,a5=,…,可得:a4n﹣3=,a4n﹣1=2.
同理可得:a4n﹣2=,a4n=3.
∴a2016+a2017=3+=.
故选:C.
9. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若E为A1C1中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1A
参考答案:
B
【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系.
【分析】建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,求出向量的坐标,以及、、的坐标,可以发现 ?=0,因此,⊥,即CE⊥BD.
【解答】解:以A为原点,AB、AD、AA1所在直线分别为x,y,z轴建空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),
D(0,1,0),A1(0,0,1),E(,,1),
∴=(﹣,﹣,1),
=(1,1,0),=(﹣1,1,0),
=(0,1,﹣1),=(0,0,﹣1),
显然?=﹣+0=0,
∴⊥,即CE⊥BD.
故选:B.
10. 若a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.±1
参考答案:
B
考点:映射.
专题:计算题.
分析:由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,而M和N中都只有2个元素,故 M=N,故有 =0 且 a=1,由此求得a和b的值,即可得到a+b的值.
解答:解:由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,而M和N中都只有2个元素,故 M=N,
∴=0 且 a=1.
∴b=0,a=1,∴a+b=1+0=1.
故选B.
点评:本题主要考查映射的定义,判断 M=N,是解题的关键,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,且,则___________
参考答案:
-13
设,则是奇函数,,,① , ②
①+②得,,故答案为.
12. 已知,那么将用表示的结果是______________.
参考答案:
略
13. 设函数 对任意的都满足,且,则________()
参考答案:
略
14. 下列四个函数中,在上为增函数的是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
15. 已知函数,则它的反函数 .
参考答案:
16. 已知正方体ABCD - A1B1C1D1中, E、F分别为BB1、CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为______.
参考答案:
【分析】
异面直线所成角,一般平移到同一个平面求解。
【详解】连接DF,
异面直线与所成角等于
【点睛】异面直线所成角,一般平移到同一个平面求解。不能平移时通常考虑建系,利用向量解决问题。
17. 已知f (x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=________.
参考答案:
6
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时的解析式为f(x)=﹣x2+4x﹣3.
(1)求这个函数在R上的解析式;
(2)作出f(x)的图象,并根据图象直接写出函数f(x)的单调区间.
参考答案:
【考点】函数的图象;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】计算题;作图题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据当x∈(0,+∞)时的解析式,利用奇函数的性质,求得x≤0时函数的解析式,从而得到函数在R上的解析式.
(2)根据函数的解析式、奇函数的性质,作出函数的图象,数形结合可得函数f(x)的单调区间.
【解答】解:(1)当x<0时,﹣x>0,∵f(x)为R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[﹣(﹣x)2+4(﹣x)﹣3]=x2+4x+3,
即x<0时,f(x)=x2+4x+3.
当x=0时,由f(﹣x)=﹣f(x)得:f(0)=0,
所以,f(x)=.
(2)作出f(x)的图象(如图所示)
数形结合可得函数f(x)的减区间:
(﹣∞,﹣2)、(2,+∞);增区间为[﹣2,0)、(0,2].
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式,作函数的图象,求函数的单调区间,属于中档题.
19. 如图,△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,角B为钝角,,,,.
(1)求sinA的值;
(2)求的面积.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)根据余弦的二倍角公式求出,利用余弦定理求出,再根据三角形的形状和二倍角公式,求得
(2)由(1)可求出,中,求得,,再由,即可求出面积.
【详解】解:(1)由得:,且角为钝角,
解得:
由余弦定理得:
解得
可知为等腰三角形,即
所以,
解得
(2)由可知
在中,,得,
三角形面积
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题,考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理,三角形中的求值问题,需要结合已知条件选取正、余弦定理,灵活转化边和角之间的关系,达到解决问题的目的.其基本步骤是:
第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,然后确定转化的方向;
第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化;
第三步:求结果,即根据已知条件计算并判定结果.
20. 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆x2+y2 +4y-21=0所截得的弦长为,求直线l的方程。
参考答案:
将圆方程化为标准形式:x2+(y+2)2=25,所以圆心坐标为(0,-2),
半径r=5. ----- 2分
由弦长是,可得弦心距为:。
设l:y+3=k(x+3),即:kx-y+3k-3=0.
由,得,解得:,或。-- 6分
所以l的方程为:或。----- 8分
即:2x-y+3=0或x+2y+9=0 --------- 10分
21. (本小题满分14分)
已知函数的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数周期为,当时,方程 恰有两个不同的解,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)设的最小正周期为,得,
由, 得,
又,解得
令,即,解得,
∴.
(2)∵函数的周期为,
又, ∴,
令,∵, ∴,
如图,在上有两个不同的解,则,
∴方程在时恰好有两个不同的解,则,
即实数的取值范围是
略
22. 已知直线l经过直线2x+y+5=0与x﹣2y=0的交点,圆C1:x2+y2﹣2x﹣2y﹣4=0与圆C2:x2+y2+6x+2y﹣6=0相较于A、B两点.
(1)若点P(5,0)到直线l的距离为4,求l的直线方程;
(2)若直线l与直线AB垂直,求直线l方程.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)设出直线的交点系方程,代入点到直线距离公式,求出λ值,可得l的直线方程;
(2)直线l与直线AB垂直,即直线l与C1C2平行,由此求出λ值,可得l的直线方程;
【解答】(本小题满分12分)
解:(1)设直线l的方程为:2x+y﹣5+λ(x﹣2y)=0 即:(2+λ)x+(1﹣2λ)y﹣5=0
由题意: =3
整理得:2λ2﹣5λ+2=0
(2λ﹣1)( λ﹣2)=0
∴λ=或λ=2
∴直线l的方程为