河南省郑州市兴华中学高一数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,矩形两条对角线相交于点,,
cm,一动点以1cm/s的速度沿折线运动,
则点围成的三角形的面积与点的运动时间x(s)
之间的函数图象为
A B C D
参考答案:
C
略
2. 函数的单调增区间是( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
略
3. 半径为的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足,则
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 函数单调递增区间为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
略
6. 已知函数,则的值是( )
A. B.9 C.﹣9 D.﹣
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解.
【解答】解:∵,
∴f()==﹣2,
∴=3﹣2=.
故答案为:.
故选:A.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
7. 函数的部分图像如图所示,则、
的值分别是( )
A.2, B.2,, C.4, D.4,
参考答案:
A
8. 已知非零向量,的夹角为60°,且,若向量满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 已知正方体的棱长为1,且其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.π B. 2π C. 3π D. 4π
参考答案:
C
略
10. 某观察站与两灯塔、的距离分别为300米和500米,测得灯塔在观察站北偏东30,灯塔在观察站正西方向,则两灯塔、间的距离为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. 500米 B. 600米 C. 700米 D. 800米
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=9-2|x|,g(x)=x2+1,构造函数那么函数y=F(x)的最大值为________.
参考答案:
5
12. 将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线x=对称,则φ的最小正值为 .
参考答案:
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式f(x)=2sin(4x﹣2φ+),再根据三角函数的性质,当x=时函数取得最值,列出关于φ的不等式,讨论求解即可.
【解答】解:将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移φ个单位所得图象的解析式f(x)=2sin[2(x﹣φ)+]=2sin(2x﹣2φ+),再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍所得图象的解析式f(x)=2sin(4x﹣2φ+)
因为所得图象关于直线x=对称,所以当x=时函数取得最值,所以4×﹣2φ+=kπ+,k∈Z
整理得出φ=﹣+,k∈Z
当k=0时,φ取得最小正值为.
故答案为:.
13. 函数的值域是 .
参考答案:
(-1,1]
14. ①不等式的解集为,则;
②函数的最小值为 ;
③若角,角为钝角的两锐角,则有;
④在等比数列中,,则通项公式。
⑤直线关于点的对称直线为:;
以上说法正确的是 。(填上你认为正确的序号)
参考答案:
①③⑤
15. 等比数列中,若和是方程的两个根,则
参考答案:
16. 已知,是第三象限角,则___________。
参考答案:
略
17. 设为实数,集合,则
____________________.
参考答案:
. 提示:由 可得
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值范围.
参考答案:
略
19.
(1)化f(α)为最简形式
(2)f(α)=﹣2,求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α
参考答案:
【考点】GI:三角函数的化简求值;GH:同角三角函数基本关系的运用.
【分析】(1)利用诱导公式进行化简;
(2)利用同角三角形函数进行解答.
【解答】解:(1)
=
=
=﹣tanα,
即f(α)=﹣tanα;
(2)由f(α)=﹣2,得
tanα==2,则sinα=2cosα,
所以sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α=4cos2α﹣2cosα?cosα﹣2cos2α=0.
【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值,诱导公式的应用,属于基本知识的考查.
20. 已知a,b.(Ⅰ) 求a -2b;(Ⅱ) 设a, b的夹角为,求的值;(Ⅲ)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ) =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0);……………(4分)
(Ⅱ)=; ………………………(8分)
(Ⅲ)因为向量与互相垂直,所以()·()=0 即
因为=5,,所以; …………………………(12分)
21. (12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x﹣1.
(Ⅰ)求f(3)+f(﹣1);
(Ⅱ)求f(x)的解析式;
(Ⅲ)若x∈A,f(x)∈[﹣7,3],求区间A.
参考答案:
考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.
专题: 综合题;函数的性质及应用.
分析: (Ⅰ)根据奇函数的性质代入已知式子可求;
(Ⅱ)设x<0,则﹣x>0,易求f(﹣x),根据奇函数性质可得f(x)与f(﹣x)的关系;
(Ⅲ)作出f(x)的图象,由图象可知f(x)单调递增,由f(x)=﹣7及f(x)=3可求得相应的x值,结合图象可求得A;
解答: (Ⅰ)∵f(x)是奇函数,
∴f(3)+f(﹣1)=f(3)﹣f(1)=23﹣1﹣2+1=6;
(Ⅱ)设x<0,则﹣x>0,∴f(﹣x)=2﹣x﹣1,
∵f(x)为奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2﹣x+1,
∴;
(Ⅲ)作出函数f(x)的图象,如图所示:
根据函数图象可得f(x)在R上单调递增,
当x<0时,﹣7≤﹣2﹣x+1<0,解得﹣3≤x<0;
当x≥0时,0≤2x﹣1≤3,解得0≤x≤2;
∴区间A为[﹣3,2].
点评: 本题考查函数的奇偶性及其应用,考查指数不等式的求解,考查数形结合思想,考查学生解决问题的能力.
22. 如图,在三棱柱ABC–A1B1C1中,AB=BC,D为AC的中点,O为四边形B1C1CB的对角线的交点,AC⊥BC1.求证:
(1)OD∥平面A1ABB1;
(2)平面A1C1CA⊥平面BC1D.
参考答案:
(1)详见解析;(2)详见解析.
【分析】
(1)连结,根据三棱柱的性质,得到四边形为平行四边形,从而得到O为的中点,结合题的条件,得到,利用线面平行的判定定理证得结果;
(2)利用等腰三角形,得到,又因为,之后应用线面垂直的判定定理证得平面,再应用面面垂直的判定定理证得平面平面.
【详解】证明:(1)连结,在三棱柱中,
四边形为平行四边形,
从而O为平行四边形对角线的交点,所以O为的中点.
又D是AC的中点,从而在,中,有,
又平面,平面,
所以平面.
(2)在中,因为,D为AC的中点,
所以.
又因为,
,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面平行的判定,面面垂直的判定,属于简单题目.