湖南省邵阳市岩口振兴中学2022年高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知a<0,且a+b>0,则下列不等式中正确的是( )
A、 B、 C、a2-b2>0 D、b2-ab>0
参考答案:
D
略
2. 抛物线的焦点坐标为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
3. ①从牛奶生产线上每隔30分钟取一袋进行检验;②从本年级20个班中任取三个班进行学情调查。则下列说法正确的是( )
A. ①是分层抽样,②是简单随机抽样; B. ①是系统抽样,②是简单随机抽样;
C. ①是系统抽样,②是分层抽样; D. ①是分层抽样,②是系统抽样;
参考答案:
B
略
4. 过椭圆 (a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( ).
参考答案:
B
略
5. 已知两个不同的平面和两条不重合的直线,则下列命题不正确的是 ( )
A.若则 B. 若则
C.若,,则 D.若,,则
参考答案:
D
6. 抛物线的准线方程是,则其标准方程是( )
A.y2=2x B.x2=﹣2y C.y2=﹣x D.x2=﹣y
参考答案:
B
【考点】抛物线的标准方程.
【分析】根据准线方程,可知抛物线的焦点在y轴的负半轴,再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py,根据准线方程求出p的值,代入即可得到答案.
【解答】解:由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴,
设抛物线标准方程为:x2=﹣2py(p>0),
∵抛物线的准线方程为y=,
∴=,
∴p=1,
∴抛物线的标准方程为:x2=﹣2y.
故选B.
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质.属基础题.
7. 下列有关命题的说法正确的是( ) 命题P:“若,则”,命题q是 p的否命题.
A.是真命题 B.q是假命题
C.p是真命题 D.是真命题
参考答案:
D
8. 已知m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
① ②
③ ④
其中真命题是( ).
(A)①和② (B)①和③
(C)③和④ (D)①和④
参考答案:
D
略
9. 已知方程有两个正根,则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
10. 已知命题,那么命题为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上,以2为周期的周期函数,且f(x)为偶函数,在区间[2,3]上,f(x)=﹣2(x﹣3)2+4,则x∈[0,2]时,f(x)= .
参考答案:
﹣2(x﹣1)2+4
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】当x∈[﹣3,﹣2]时﹣x∈[2,3],利用偶函数的性质求出f(x),再利用函数的周期性求出x∈[1,2]的f(x)解析式,同理求出x∈[0,1]的f(x)解析式,即可得出结论.
【解答】解:当x∈[﹣3,﹣2]时,﹣x∈[2,3],
∵f(x)是偶函数,在区间[2,3]上,f(x)=﹣2(x﹣3)2+4,
∴f(x)=f(﹣x)=﹣2(﹣x﹣3)2+4=﹣2(x+3)2+4.
当x∈[1,2]时,﹣3≤x﹣4≤﹣2,∵f(x)是以2为周期的周期函数,
∴f(x)=f(x﹣4)=﹣2[(x﹣4)+3]2+4=﹣2(x﹣1)2+4.
∴f(x)=﹣2(x﹣1)2+4(1≤x≤2);
当x∈[0,1]时,2≤x+2≤3,∵f(x)是以2为周期的周期函数,
∴f(x)=f(x+2)=﹣2[(x+2)﹣3]2+4=﹣2(x﹣1)2+4.
∴f(x)=﹣2(x﹣1)2+4(0≤x≤1);
∴f(x)=﹣2(x﹣1)2+4(0≤x≤2).
故答案为﹣2(x﹣1)2+4.
12. 已知点与点在直线的两侧,给出下列说法:
①;②当时,有最小值,无最大值;③;④当且时,的取值范围是.其中所有正确说法的序号是__________.
参考答案:
③④
由无界性可得无最值;命题③由点在直线的左上方,可得;解命题④主要抓住的几何意义再作图,从而可得只有③④正确.
13. 已知集合=___________
参考答案:
14. 已知向量,若,则等于 。
参考答案:
15. 如果双曲线的渐近线与抛物线相切,则双曲线的离心率为 .
参考答案:
3
16. .=___________。
参考答案:
1
略
17. 若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为________
参考答案:
-20
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知曲线C上的动点P()满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B(1,0)距离之比为.
(1)求曲线C的方程.
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N,若|MN|=4,求直线的方程.
参考答案:
解:(1)由题意得|PA|=|PB|
故
化简得:(或)即为所求。
(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
将代入方程得,
所以|MN|=4,满足题意。
当直线的斜率存在时,设直线的方程为+2
由圆心到直线的距离
解得,此时直线的方程为
综上所述,满足题意的直线的方程为:或。
略
19. (本小题满分12分)
已知点是圆上任意一点,点与点关于原点对称.线段的中垂线分别与交于两点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)斜率为1的直线与曲线交于两点,若
(为坐标原点),求直线的方程.
参考答案:
解:(1)由题意得,圆的半径为,且 … 1分
从而 …………………………… 3分
∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆, ………………………………………… 5分
其中长轴,得到,焦距,则短半轴
椭圆方程为: ………………………………………………………… 6分
(2)设直线的方程为,由
可得 …………………………………………………………… 8分
则,即 ① …………………………………9分
设,则
由可得,即 …………………10分
整理可得
化简可得,满足①式,故直线]的方程为: …………………12分
20. (本小题满分12分)已知点M在椭圆 上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′,并且M为线段PP′的中点,求点P的轨迹方程.
参考答案:
21. (本题满分12分)
已知函数,其中为实数.
(Ⅰ) 若在处取得的极值为,求的值;
(Ⅱ)若在区间上为减函数,且,求的取值范围.
参考答案:
(12分) 解 (Ⅰ)由题设可知:
且, ……………… 2分
即,解得 ……………… 4分
(Ⅱ), ……………… 5分
又在上为减函数,
对恒成立, ……………… 6分
即对恒成立.
且, ……………… 10分
即,
的取值范围是 ……………… 12分
略
22. 已知圆A:(x+1)2+y2=8,动圆M经过点B(1,0),且与圆A相切,O为坐标原点.
(Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)直线l与曲线C相切于点M,且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点,求证: ?为定值.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)推导出M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆,由此能求出动圆圆心M的轨迹C的标准方程.
(Ⅱ)设l:y=kx+b,将l的方程与椭圆C的方程的联立,化简得(1+2k2)x2+4kbx+2b2﹣2=0,由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式,结合题意能证明?为定值﹣1.
【解答】解:(Ⅰ)设动圆M的半径为r,依题意,|MA|=2﹣r,|MB|=r,
∴|MA|+|MB|=2>|AB|=2,
∴M点轨迹是以A、B为焦点的椭圆,
∴动圆圆心M的轨迹C的标准方程为+y2=1.…
证明:(Ⅱ)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,设l:y=kx+b,
将l的方程与椭圆C的方程的联立,化简得:
(1+2k2)x2+4kbx+2b2﹣2=0,
因为l与椭圆C相切于点M,设M(x0,y0),
所以△=8(1+2k2﹣b2)=0,即b2=1+2k2,
且2x0=﹣=﹣,解得x0=﹣,y0=﹣+b=,
∴点M的坐标为(﹣,),
又l与x轴、y轴分别交于P、Q两点,
∴点P的坐标为(﹣,0),点Q的坐标为(0,b),=(,b),
∴?=(﹣,)?(,b)=﹣1.
∴?为定值﹣1.…(12分)
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法,考查向量的数量积为定值的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式、圆、椭圆等知识点的合理运用.