湖南省邵阳市武冈江塘中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,且,则下列命题成立的是( )
A.在区间上是减函数
B.在区间上是减函数
C.在区间上是增函数
D.在区间上是增函数
参考答案:
B
2. 点(-1,2)关于直线 y = x—1的对称点的坐标是 ( )
A.(3,2) B.(?3,?2) C.(?3,2) D.(3,?2)
参考答案:
D
3. 已知命题,,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 已知过点和的直线与直线垂直,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 若向量、的坐标满=(﹣2,﹣1,2),=(4,﹣3,﹣2),则?的等于( )
A.5 B.﹣5 C.7 D.﹣1
参考答案:
B
【考点】M6:空间向量的数量积运算.
【分析】由已知求出向量、的坐标,然后利用数量积定义求之.
【解答】解:因为向量、的坐标满=(﹣2,﹣1,2),=(4,﹣3,﹣2),
所以向量={1,﹣2,0}、={﹣3,1,2},
所以?=﹣3﹣2+0=﹣5;
故选:B.
6. 定义方程实数根为函数的“和谐点”.如果函数,, 的“和谐点”分别为,则的大小关系是
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 设向量=(1,2),=(m,m+1),∥,则实数m的值为( )
A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3
参考答案:
A
【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】利用向量平行的性质求解.
【解答】解:∵ =(1,2),=(m,m+1),∥,
∴,
解得m=1.
故选:A.
8. 执行如图所示的程序框图,输出的值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
A
9. 将正方形的每条边8等分,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点),可以得到不同的三角形个数为( )
A.1372 B.2024 C.3136 D.4495
参考答案:
C
【考点】计数原理的应用.
【专题】排列组合.
【分析】分两类,第一类,三点分别在三条边上,第二类,三角形的两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶点在另一条边,根据分类计数原理可得.
【解答】解:首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上.任选正方形的三边,使三个顶点分别在其上,有4种方法,
再在选出的三条边上各选一点,有73种方法.这类三角形共有4×73=1372个.
另外,若三角形有两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶点在另一条边上,则先取一边使其上有三角形的两个顶点,有4种方法,
再在这条边上任取两点有21种方法,然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点.这类三角形共有4×21×21=1764个.
综上可知,可得不同三角形的个数为1372+1764=3136.
故选:C.
【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,还要结合几何图形,属于中档题.
10. 已知函数的图像如右图所示,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把“五进制”数转化为“七进制”数:__________
参考答案:
152
,
把十进制化为七进制:
所以 ,故填152.
12. 设,,
若是的充分不必要条件,则的取值范围是 .
参考答案:
略
13. 空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则_________ (用,,表示)
参考答案:
略
14. 若函数在处取极值,则__________
参考答案:
3
15. 命题“?x∈(﹣∞,0),使得3x<4x”的否定是 .
参考答案:
?x∈(﹣∞,0),都有3x≥4x
考点:命题的否定.
专题:简易逻辑.
分析:直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“?x∈(﹣∞,0),使得3x<4x”的否定是:?x∈(﹣∞,0),都有3x≥4x
故答案为:?x∈(﹣∞,0),都有3x≥4x.
点评:本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.
16. 命题“”的否定为 。
参考答案:
17. 求函数在区间上的最大值等于_________
参考答案:
4
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的焦距为2,椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx﹣2与椭圆C交于A,B两点,点P(0,1),且|PA|=|PB|,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】综合题;方程思想;待定系数法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(Ⅰ)由椭圆的定义可得a,由焦距的概念可得c,再由a,b,c的关系可得b,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)直线l:y=kx﹣2代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,再由中点坐标公式和两直线垂直的条件,可得k的方程,解方程可得直线方程.
【解答】解:(Ⅰ)由椭圆的定义可得2a=6,2c=2,
解得a=3,c=,
所以b2=a2﹣c2=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(Ⅱ)由
得(1+3k2)x2﹣12kx+3=0,
由于直线与椭圆有两个不同的交点,
所以△=144k2﹣12(1+3k2)>0解得.
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则,,
,
所以,A,B中点坐标E(,),
因为|PA|=|PB|,所以PE⊥AB,即kPE?kAB=﹣1,
所以?k=﹣1
解得k=±1,
经检验,符合题意,
所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0.
【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的定义和焦距的概念,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点坐标公式,由两直线垂直的条件,考查运算能力,属于中档题.
19. 在某海滨城市附近海面有一台风,据检测,当前台风中心位于城市O的东偏南方向300 km的海面P处,并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km ,并以10 km / h的速度不断增加,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?持续多长时间?
参考答案:
设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t
故
即 解得
答:12小时后该城市受到台风的侵袭,侵袭的时间将持续12小时
20. (本小题满分12分)在中,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设的面积,求的长.
参考答案:
解:(Ⅰ)由,得, ………2分
由,得. ………4分
所以.………6分
(Ⅱ)由得,
由(Ⅰ)知,故, ………8分
又,故,.……10分
所以. ………12分
21. (本小题满分12分)已知椭圆的方程为:,其中,直线 与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆在轴上方的一个交点为,是椭圆的右焦点,试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
参考答案:
(1)设椭圆的左右焦点分别为、,直线与椭圆的一个交点坐标是,
根据椭圆的定义得:,
即,即,
又,,联立三式解得
所以椭圆的方程为:
(2)由(1)可知,直线与椭圆的一个交点为,
则以为直径的圆方程是,圆心为,半径为
以椭圆长轴为直径的圆的方程是,圆心是,半径是
两圆心距为,所以两圆内切.
22. 设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列,它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列.
(1)证明a1=d;
(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.
参考答案:
解析:(1)证明:因a1,a2,a4成等比数列,故=a1a4,
而{an}是等差数列,有a2=a1+d,a4=a1+3d,于是(a1+d)2=a1(a1+3d),
即+2a1d+d2=+3a1d.
d≠0,化简得a1=d.
(2)由条件S10=110和S10=10a1+,得到10a1+45d=110,
由(1),a1=d,代入上式得55d=110,故d=2,an=a1+(n-1)d=2n.
因此,数列{an}的通项公式为an=2n(n=1,2,3,…).