北京177中学2022-2023学年高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
C
略
2. (5分)函数y=a﹣x和函数y=loga(﹣x)(a>0,且a≠0)的图象画在同一个坐标系中,得到的图象只可能是下面四个图象中的()
A. B. C. D.
参考答案:
A
考点: 对数函数的图像与性质;反函数.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由指数函数和对数函数的图象和性质,分析四个答案中图象的正误,可得答案.
解答: ∵函数y=loga(﹣x)的定义域为(﹣∞,0),
故函数y=loga(﹣x)的图象只能出现在第二,三象限,
故排除BC,
由AD中,函数y=loga(﹣x)均为减函数,
故a>1,
此时函数y=a﹣x也为减函数,
故选:A
点评: 本题考查的知识点是指数函数和对数函数的图象和性质,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质,是解答的关键.
3. 如图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A. {α|-45°≤α≤120°}
B. {α|120°≤α≤315°}
C. {α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D. {α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}
参考答案:
C
因为由图像可知,终边阴影部分的一周内的角从-450,增加到1200,然后再加上周角的整数倍,即得到{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z},选C
4. 已知集合A={x|x=2n—l,n∈Z},B={x|x2一4x<0},则A∩B=( )
A. B. C. D.{1,2,3,4}
参考答案:
C
5. 设是定义在 (-¥,+¥)上的偶函数,且它在[0,+¥)上单调递增,若,,,则 的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B=bcosA,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
B
7. 若直线,且直线平面,则直线与平面的位置关系是( ).
A. B.
C.或 D.与相交或或
参考答案:
D
8. (5分)设、、是单位向量,且,则?的最小值为()
A. ﹣2 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 1﹣
参考答案:
D
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 压轴题.
分析: 由题意可得 =,故要求的式子即 ﹣()?+=1﹣ cos=1﹣cos,再由余弦函数的值域求出它的最小值.
解答: ∵、、 是单位向量,,∴,=.
∴?=﹣()?+=0﹣()?+1=1﹣ cos
=1﹣cos≥.
故选项为D
点评: 考查向量的运算法则;交换律、分配律但注意不满足结合律.
9. 等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,则的值是____.
参考答案:
【分析】
根据二倍角公式得出,再根据诱导公式即可得解。
【详解】解:由题意知:
故,
即
。
故答案为.
【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用,属于基础题。
12. 函数的定义域为 .
参考答案:
13. 已知数列为 ;其前n项和为_____________.
参考答案:
.
【分析】
将数列的通项化简,将其裂项,利用裂项求和法求出前项和。
【详解】,设该数列的前项和为,
因此,,
故答案为:。
【点睛】本题考查数列的裂项求和法,要熟悉裂项求和法对数列通项的基本要求,同时要注意裂项法求和的基本步骤,考查计算能力,属于中等题。
14. 在平面直角坐标系xOy中,直线l:(2k﹣1)x+ky+1=0,则当实数k变化时,原点O到直线l的距离的最大值为 .
参考答案:
【考点】IT:点到直线的距离公式.
【分析】由于直线l:(2k﹣1)x+ky+1=0经过定点P(1,﹣2),即可求出原点O到直线l的距离的最大值.
【解答】解:直线l:(2k﹣1)x+ky+1=0化为(1﹣x)+k(2x+y)=0,
联立,解得,经过定点P(1,﹣2),
由于直线l:(2k﹣1)x+ky+1=0经过定点P(1,﹣2),
∴原点O到直线l的距离的最大值为.
故答案为:.
15. 在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为 .
参考答案:
直角三角形
【考点】三角形的形状判断.
【分析】在△ABC中,利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=转化为1+cosA=+1,整理即可判断△ABC的形状.
【解答】解:在△ABC中,∵cos2=,
∴==+
∴1+cosA=+1,
∴cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinAcosC=0,sinA≠0,
∴cosC=0,
∴C为直角.
故答案为:直角三角形.
16. 若直线x﹣y=2被圆(x﹣a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为 .
参考答案:
0或4
【考点】J8:直线与圆相交的性质.
【分析】由已知得圆心(a,0)到直线x﹣y=2的距离d==,由此利用点到直线的距离公式能求出实数a的值.
【解答】解:∵直线x﹣y=2被圆(x﹣a)2+y2=4所截得的弦长为2,
∴圆心(a,0)到直线x﹣y=2的距离d==,
∴,
解得a=0或a=4,
故答案为:0或4.
17. 化简的结果是 .
参考答案:
1
【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值.
【分析】同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,诱导公式,把要求的式子化为=
=,从而求得结果.
【解答】解: ==
===1,
故答案为:1.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为vm/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为x,研究中发现v与成正比,且当x=300时,.
(1)求出v关于x的函数解析式;
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数;
(3)当鲑鱼的游速增加1m/s时,其耗氧量是原来的几倍?
参考答案:
(1)设,
当时,,解得,
所以关于的函数解析式为.
(2)当游速为时,由解析式得
解得即耗氧量为2700个单位.
(3)设原来的游速为,耗氧量为,游速增加后为,耗氧量为,
则,①
②
②-①得:
得
所以耗氧量是原来的9倍.
19. 已知集合A={x|0<2x+a≤3},B={x|﹣<x<2}.
(1)当a=﹣1 时,求A∩B.
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用;交集及其运算.
【分析】(1)当a=﹣1 时,求出A,即可求A∩B.
(2)若A?B,确定A≠?,再求实数a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=﹣1时,A=(,2],∴A∩B=(,2)…(5)
(2)∵A=(﹣,],A?B,
∴A=?,﹣≥,不成立….…(7)
解,得:﹣1<a≤1.…(12)
20. (8分)已知,若,
(1)求,(2)求。
参考答案:
解:,
(1)
(2)
21. (Ⅰ)已知全集,,,记,
求集合,并写出的所有子集;
(Ⅱ)求值:.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵,,
∴,…………………………………………………………………2分
∴.……………………………………4分
∴的所有子集为:.…………………………………………7分
(说明:子集少一个扣一分,少两个不给分.)
(Ⅱ)
……………………………………………………………………3分
…………………………………………………………………………5分
.………………………………………………………………………………6分
22. (本小题满分12分)已知的三内角A,B,C所对三边分别为a,b,c,且
(I)求的值。
(II)若的面积求a的值。
参考答案:
解:(Ⅰ)∵ ∴ 由
得…2分
∴=-=……4分
∴……5分 ∴……6分
(Ⅱ)得……8分
∴ ∴……12分
略