广东省梅州市锡坪中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义实数集R的子集M的特征函数为.若A,B?R,对任意x∈R,有如下判断:
①若A?B,则fA(x)≤fB(x); ②fA∩B(x)=fA(x)?fB(x);
③; ④fA∪B(x)=fA(x)+fB(x).
其中正确的是 .(填上所有满足条件的序号)
参考答案:
①②③
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】综合题;转化思想;综合法;简易逻辑.
【分析】根据题中特征函数的定义,利用集合的交集、并集和补集运算法则,对各项中的运算加以验证,可得①②③都可以证明它们的正确性,而④可通过反例说明它不正确.由此得到本题答案.
【解答】解:由题意,可得
对于A,因为A?B,可得x∈A则x∈B,
∵fA(x)=,fB(x)=,
而CRA中可能有B的元素,但CRB中不可能有A的元素
∴fA(x)≤fB(x),
即对于任意x∈R,都有fA(x)≤fB(x)故①正确
对于C,fA∩B(x)==?=fA(x)?fB(x),
故②正确
对于③,=,结合fA(x)的表达式,可得=1﹣fA(x),故③正确
对于④,fA∪B(x)=
当某个元素x在A中但不在B中,由于它在A∪B中,故fA∪B(x)=1,
而fA(x)=1且fB(x)=0,可得fA∪B(x)≠fA(x)?fB(x)
由此可得④不正确.
故答案为:①②③.
【点评】本题给出特征函数的定义,判断几个命题的真假性,着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识,属于中档题.
2. 圆 的圆心到直线的距离为( )
A. B.2 C.3 D.
参考答案:
A
圆 的圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线的距离为。
3. 已知函数 在(5,10)上有单调性,则实数的取值范围是( )
A.(,20] B.( C.[20,40] D.
参考答案:
B
略
4. 已知全集且,则集合的真子集的个数为( )个
A.6 B.7 C.8 D.9
参考答案:
B
略
5. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示,则时速的众数,中位数的估计值为( ****** )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
6. (5分)如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,则下列说法中错误说法的个数是()
①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个(不含本身)
③的长度恰为长度的倍
④与不共线.
A. 4 B. 3 C. 1 D. 0
参考答案:
C
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 平面向量及应用;简易逻辑.
分析: ①利用向量相等与菱形的性质即可判断出正误;
②利用菱形的性质、模相等的定义即可判断出正误;
③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系即可判断出正误.
④利用向量共线定理即可判断出与共线,即可判断出正误.
解答: 解:①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个,(不含本身),正确;
②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个,,,(不含本身),正确;
③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系可得:的长度恰为长度的倍,正确.
④与共线,因此不正确.
因此说法中错误说法的个数是1.
故选:C.
点评: 本题考查了向量相等、菱形的性质、模相等的定义、直角三角形的边角关系、向量共线定理、简易逻辑的判定,考查了推理能力,属于基础题.
7. 已知为非零不共线向量,向量与共线,则k=( )
A. B. C. D. 8
参考答案:
C
【分析】
利用向量共线的充要条件是存在实数,使得,及向量相等坐标分别相等列方程解得。
【详解】向量与共线,
存在实数,使得,即
又 为非零不共线向量,
,解得:,
故答案选C
【点睛】本题主要考查向量共线的条件,向量相等的条件,属于基础题
8. 若关于的不等式的解集为(0,2),则实数m的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
A
9. 方程的实根分别为,则等于( )
A. B. C. D. 1
参考答案:
A
10. 下列关系中正确的是( )
A.()<()<() B.()<()<()
C.()<()<() D.()<()<()
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知两个等差数列{ a n }和{ b n }的前n项和S n,T n的比=。则= 。(用n表示)
参考答案:
12.
参考答案:
13. 已知3a=2,那么log38﹣log362用a表示是 .
参考答案:
a﹣2
【考点】对数的运算性质.
【分析】由对数的运算法则知log38=3log32,log36=log32+1,由此根据题设条件能求出log38﹣2log36用a表示的式子.
【解答】解:∵3a=2,
∴a=log32,
log38﹣2log36=3log32﹣2(log32+log33)=3a﹣2(a+1)=a﹣2.
故答案为:a﹣2
【点评】本题考查对数的运算法则,解题时要认真审题,仔细求解,注意合理地进行转化.
14. 已知函数是定义在R上的奇函数,若时,,则时, .
参考答案:
∵函数是定义在R上的奇函数,当时,当时,则, ,故答案为.
15. 已知幂函数过点,则函数的解析式是__________.
参考答案:
设幂函数的解析式为:,
∵幂函数过点,
∴,解得:,
故函数的解析式为:.
16. 如图执行右面的程序框图,那么输出的= .
参考答案:
略
17. 设常数a>1,则f(x)=﹣x2﹣2ax+1在区间[﹣1,1]上的最大值为 .
参考答案:
2a
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据a的范围判断f(x)在[﹣1,1]上的单调性,利用单调性求出最大值.
【解答】解:f(x)的图象开口向下,对称轴为x=﹣a<﹣1,
∴f(x)在[﹣1,1]上是减函数,
∴f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值为f(﹣1)=2a.
故答案为2a.
【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系,是基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知是第三象限角,且.
(1)若,求的值;
(2)求函数,的值域.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)利用诱导公式化简和,再利用同角三角函数的基本关系即可得到的值;
(2)由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式,再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质,求得函数在上的值域。
【详解】解:(1),∴,
是第三象限角,∴,∴;
(2),
令,则,
故在上值域等价于在上的值域;
∴当时,,当时,
函数的值域是.
【点睛】本题考查诱导公式的应用、同角三角函数的基本关系,正弦函数的定义域和值域,二次函数在区间上的值域,属于中档题
19. (本小题满分12分)
(1)若 log2 [log (log2 x)]=0,求x。;
(2)若,求的值。
参考答案:
略
20. (本题8分)
在给定的坐标系内作出函数的图像,并回答下列问题
(Ⅰ)判断函数的奇偶性;
(Ⅱ)写出函数的单调减区间,并用函数单调性的定义证明.
参考答案:
24(Ⅰ)定义域为.且是偶函数。
(Ⅱ)单调减区间是。
证明:设是上任意两个不相等的实数,且,即。
则
,,,,即。
函数在区间上是减函数。
略
21. 已知函数
(1)证明函数是奇函数;
(2)若求证函数在区间上单调递增;
(3)若函数在区间上单调递增,求的取值范围。
参考答案:
略
22. 若集合,集合,且,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)若,则,解得;
(2)若,则,解得,此时,适合题意;
(3)若,则,解得,此时,不合题意;
综上所述,实数的取值范围为.
略