2022年广东省湛江市第十五职业高级中学高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 不等式组的解集是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 设,且,则下列不等式恒成立的是()
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
逐一分析选项,得到正确答案.
【详解】由已知可知,可以是正数,负数或0,
A.不确定,所以不正确;
B.当时,两边同时乘以,应该,所以不正确;
C.因为有可能等于0,所以,所以不正确;
D.当时,两边同时乘以,,所以正确.
故选D.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,属于简单题型.
3. 若函数在上是单调函数,则的取值范围是
A B C D
参考答案:
C
4. 已知等差数列中,,那么等于
A.12 B. 24 C. 36 D. 48
参考答案:
B
5. 若,且,则下列不等式中一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. sin2cos3tan4的值 ( )
(A) 小于0 (B) 大于0 (C) 等于0 (D) 不存在
参考答案:
A
7. 若且,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
利用作差法对每一个选项逐一判断分析.
【详解】选项A, 所以a≥b,所以该选项错误;
选项B, ,符合不能确定,所以该选项错误;
选项C, ,符合不能确定,所以该选项错误;
选项D, ,所以,所以该选项正确.
故选:D
【点睛】本题主要考查实数大小的比较,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8. 如图为几何体的三视图,根据三视图可以判断这个几何体为( )
A.圆锥 B.三棱锥 C.三棱柱 D.三棱台
参考答案:
C
略
9. 若,,,则,,的大小关系是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
∵,,,
∴.故选.
10. 已知,,且,,成等比数列,则( )
、有最大值 、有最大值 、有最小值 、有最小值
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数在上递减,在上递增,则__________.
参考答案:
已知等于对称,
∴.
12. 若数列满足:,(),则的通项公式为 .
参考答案:
13. 若正四棱谁的所有棱长都相等,则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为____.
参考答案:
45°
【分析】
先作出线面角,再利用三角函数求解即可.
【详解】如图,设正四棱锥的棱长为1,作在底面的射影,则为与底面所成角,为正方形的中心,
,,
,
故答案为:45°.
【点睛】本题考查线面角,考查学生的计算能力,作出线面角是关键.属于基础题.
14. 给出下列命题:①存在实数,使得成立;②存在实数,使得成立;③是偶函数;④是函数的一条对称轴;⑤若是第一象限角,且,则.其中正确命题的序号有 .
参考答案:
③④
15. 若集合,,则_____________
参考答案:
16. 设x为实数,[x]为不超过实数x的最大整数,如,.记,则{x}的取值范围为[0,1),现定义无穷数列{an}如下:,当时,;当时,,若,则________.
参考答案:
【分析】
根据已知条件,计算数列的前几项,观察得出无穷数列{an}呈周期性变化,即可求出的值。
【详解】当时,,,
,,……,无穷数列{an}周期性变化,周期为2,所以。
【点睛】本题主要考查学生的数学抽象能力,通过取整函数得到数列,观察数列的特征,求数列中的某项值。
17. 已知,,且x+y=1,则的最小值是__________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=lg(3+x)+lg(3﹣x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)欲使f(x)有意义,须有,解出即可;
(2)利用函数奇偶性的定义即可作出判断;
【解答】解:(1)依题意有,解得﹣3<x<3,
所以函数f(x)的定义域是{x|﹣3<x<3}.
(2)由(1)知f(x)定义域关于原点对称,
∵f(x)=lg(3+x)+lg(3﹣x)=lg(9﹣x2),
∴f(﹣x)=lg(9﹣(﹣x)2)=lg(9﹣x2)=f(x),
∴函数f(x)为偶函数.
【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断,属基础题,定义是解决函数奇偶性的基本方法.
19. (本小题满分10分)
设函数定义域为,若在上单调递增,在上单调递减,则称为函数的峰点,为含峰函数.(特别地,若在上单调递增或递减,则峰点为或)
对于不易直接求出峰点的含峰函数,可通过做试验的方法给出的近似值. 试验原理为:“对任意的,,,若,则为含峰区间,此时称为近似峰点;若,则为含峰区间,此时称为近似峰点”.
我们把近似峰点与之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”,记为,其值为(其中表示中较大的数).
(Ⅰ)若,.求此试验的预计误差.
(Ⅱ)如何选取、,才能使这个试验方案的预计误差达到最小?并证明你的结论(只证明的取值即可).
(Ⅲ)选取,,,可以确定含峰区间为或. 在所得的含峰区间内选取,由与或与类似地可以进一步得到一个新的预计误差.分别求出当和时预计误差的最小值.(本问只写结果,不必证明)
参考答案:
见解析
【知识点】分段函数,抽象函数与复合函数
【试题解析】解:(Ⅰ)由已知,.
所以
(Ⅱ)取,,此时试验的预计误差为.
以下证明,这是使试验预计误差达到最小的试验设计.
证明:分两种情形讨论点的位置.
当时,如图所示,
如果 ,那么 ;
如果 ,那么 .
当,.
综上,当时,.
(同理可得当时,)
即,时,试验的预计误差最小.
(Ⅲ)当和时预计误差的最小值分别为和.
20. 已知中,角的对边分别为,且角满足,
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ) 若,,求的面积。
参考答案:
解:(I)∵, 且
∴
∴ sinB= ∴或
∵ ∴6分
(Ⅱ) ,
==
,
12分
略
21. 已知
参考答案:
证明:
22. (12分)如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2,CD=1,F是BE的中点.
(1)求证:DF∥平面ABC;
(2)求三棱锥E﹣ABD的体积.
参考答案:
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: (1)取AE中点G,连接DG、FG,由三角形中位线的性质得到FG∥AB,进一步得到FG∥平面ABC,再由已知证出四边形ACDG为平行四边形,
得到DG∥AC,即DG∥平面ABC,由面面平行的判定得平面DFG∥平面ABC,进一步得到DF∥平面ABC;
(2)把三棱锥E﹣ABD的体积转化为求三棱锥B﹣AED的体积,然后通过解三角形求得三棱锥B﹣AED的底面边长和高,则棱锥的体积可求.
解答: (1)证明:如图,
取AE中点G,连接DG、FG,
∵F是BE的中点,∴FG∥AB,则FG∥平面ABC,
∵AE和CD都垂直于平面ABC,∴AE∥CD,
又AE=2,CD=1,∴AG=CD,
则四边形ACDG为平行四边形,∴DG∥AC,则DG∥平面ABC,
又FG∩DG=G,∴平面DFG∥平面ABC,
则DF∥平面ABC;
(2)∵AB=2,△ABC是正三角形,∴AC=2,
∵AE⊥平面ABC,∴EA⊥AC,
则,
又平面EACD⊥面ABC,
在平面ABC内过B作BH⊥AC,则AH⊥面ACDE,
在等边三角形ABC中,求得AH=,
∴=.
点评: 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.