2022年湖北省黄冈市育才中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过球面上一点作球的互相垂直的三条弦,已知,,则球的半径为( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
2. 中,若且,则的形状是
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
参考答案:
C
由,得,所以得,所以。所以,所以,即,所以,所以,即,所以,,即三角形为等腰直角三角形,选C.
3. 已知等比数列的前项和为,且则
A. B.4 C.2 D.
参考答案:
C
4. 如图,在矩形OABC内随机撒一颗黄豆,则它落在空白部分的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据定积分的应用,得到阴影部分的面积为,再由题意得到矩形的面积,最后由与面积有关的几何概型的概率公式,即可求出结果.
【详解】由题意,阴影部分的面积为,
又矩形的面积为,
所以在矩形内随机撒一颗黄豆,则它落在空白部分的概率为
.
故选B
【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型,以及定积分的应用,熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可,属于常考题型.
5. 阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( )
A.15 B.105 C.245 D.945
参考答案:
B
考点:程序框图.
专题:算法和程序框图.
分析:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出S的值.
解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,
∵跳出循环的i值为4,
∴输出S=1×3×5×7=105.
故选:B.
点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.
6. 的展开式中,的系数为( )
A.154 B.42 C. -42 D.126
参考答案:
B
7. 已知p:函数在[3,+∞)上是增函数,q:函数在[3,+∞)是增函数,则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
8. 已知函数 则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 下列各小题中,是的充要条件的是
(1)或;有两个不同的零点。
(2) 是偶函数。
(3) 。
(4) 。
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
答案:D.
解析:(2)由可得,但的定义域不一定关于原点对称;(3)是的既不充分也不必要条件。
10. 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(0,0,0),(1,2,0),(0,2,2),(3,0,1),则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为( )
A.3 B. C.2 D.
参考答案:
A
考点:简单空间图形的三视图.
专题:空间位置关系与距离.
分析:求出四个顶点在yOz平面上投影的坐标,分析正视图的形状,可得答案.
解答: 解:(0,0,0),(1,2,0),(0,2,2),(3,0,1),
在yOz平面上投影的坐标分别为:(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,1),
如下图所示:
即四面体的正视图为上下底长度分别为1,2,高为2的梯形,
其面积S==3,
故选:A
点评:本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中画出几何体的正视图是解答的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若斜的内角成等差数列,则
参考答案:
12. 展开式中的系数是 .(用数字作答)
参考答案:
10
展开式的通项为,由,得,所以,即的系数是10.
13. 已知函数,
记,
,则m的最大值为
参考答案:
5
略
14. 一个圆柱和一个圆锥同底等高,若圆锥的侧面积是其底面积的2倍,则圆柱的侧面积是其底面积的 倍.
参考答案:
2
考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 根据几何体的性质,公式转化为用r表示的式子判断.
解答: 解:∵一个圆柱和一个圆锥同底等高
∴设底面半径为r,高为h,
∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍,
∴πrl=2πr2,l=2r
h=r
∴圆柱的侧面积=2πrl=2πr2,
其底面积=πr2
∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍,
故答案为:.
点评: 本题考查了旋转体的几何性质,表面积的运算公式,属于中档题.
15. 已知函数,函数,则不等式的解集为_______.
参考答案:
[-2,2]
因为,,故是偶函数,
故 可画出的图像,
令
故解集为.
故答案为:.
16. 从中随机选取一个数为,从中随机选取一个数为,则的概率是
参考答案:
17. 如图,如图,A,B是圆O上的两点,且OA⊥OB,OA=2,C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D,则CD= .
参考答案:
考点:与圆有关的比例线段.
专题:直线与圆.
分析:由题设条件推导出OC=CA=1,OB=2,BC=,由相交弦定理得(2+1)?(2﹣1)=BC?CD,由此能求出CD.
解答: 解:如图,∵A,B是圆O上的两点,且OA⊥OB,OA=2,
C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D,
∴OC=CA=1,OB=2,
∴BC==,
∴由相交弦定理得(2+1)?(2﹣1)=BC?CD,
∴CD==.
故答案为:.
点评:本题考查与圆相关的线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意勾股定理和相交弦定理的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,
,且FA= FC
(l)求证:平面BDEF:
(2)求证:FC//平面EAD
(3)设AB=BF=a,求四面体A-BCF的体积。
参考答案:
(I)证明:设AC与BD相交于点O,连结FO.
因为四边形ABCD为菱形,所以, …………1分
又FA=FC,且O为AC中点.所以. …………2分
因为,
所以. ……………………………4分
(II)证明:因为四边形与均为菱形,
所以
又,
所以平面 ………………………………6分
又
所以. ………………………………8分
(Ⅲ)解:因为四边形BDEF为菱形,且,所以为等边三角形.
因为为中点,所以
由(Ⅰ)知 ,故 .
……………9分
易求得 ……………10分
∴………12分
略
19. (本小题满分14分)
已知函数(e是自然对数的底数,e=2.71828……)
(1)若k=e,求函数的极值;
(2)若,求函数的单调区间;
(3)若,讨论函数在上的零点个数.
参考答案:
解:(1)由得,所以. …………1分
令,得,解得.
由得,由得,
当变化时,、的变化情况如下表:
1
0
+
单调递减
极小值
单调递增
…………2分
所以当=1时,有极小值为0,无极大值. …………3分
(2)由,得.
①当时,则对恒成立,
此时的单调递增,递增区间为. …………4分
②当时,
由得到,
由得到,
所以,时,的单调递增区间是;递减区间是. …………6分
综上,当时,的单调递增区间为;
当时,的单调递增区间是;递减区间是. ………7分
(3)解法一:
①当时,,对恒成立,所以函数在上无零点.………8分
②当时,由(2)知,对恒成立,函数在上单调递增,
又, …………9分
所以函数在上只有一个零点. …………10分
(若说明取绝对值很大的负数时,小于零给1分)
③当时,令,得,且在上单调递减,在 上单调递增,在时取得极小值,即在上最多存在两个零点.
(ⅰ)若函数在上有2个零点,则,解得;…11分
(ⅱ)若函数在上有1个零点,则或,解得或; …………12分
(ⅲ)若函数在上没有零点,则或,解得 . …………13分
综上所述, 当时,在上有2个零点;
当或时,在上有1个零点;
当时,在上无零点. …………14分
解法二:
.
当时,对恒成立,所以函数在上无零点.8分
当时,在上的零点就
是方程在上的解,即函数
与在上的交点的横坐标. …………9分
① 当时,如图1,
函数与只在上
有一个交点,即函数在上有一个零点. …………10分
②当时,
若相切时,如图2,
设切点坐标为
,则 即切线的斜率是
所以,解得,
即当时,只有一个交点,
函数 在上只有一个零点;…………11分
由此,还可以知道,当时,函数在上无零点. …………12分
当过点时,如图3,,
所以时,在上
有两个交点,即函数在上有两个零点;
时,在上只有一个
交点,即函数在上只有一个零点. …………13分
综上所述,当时,函数在上有2个零点;
当或时,函数在上有1个零点;
当时,函数在上无零点. …………14分
20. 设函数.
(1)若不等式的解集为,求的值;
(2)在(1)的条件下,若不等式恒成立,求的取值范围.
参考答案:
(1)因为,所以,
所以,所以.
因为不等式的解集为,
所以,解得.
(2)由(1)得.不等式恒成立,
只需,
所以,即,
所以的取值范围是.
21. 若,
且
(1)求对所有实数成立的充要条件(用表示)