2022年湖南省邵阳市莨山镇窑市中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的二项展开式的第三项为,则关于的函数图像大致形状为( )
参考答案:
D
略
2. 设函数 若是奇函数,则的值是( )
A. B. C. D. 4
参考答案:
A
3. 正三棱柱中,,则三棱锥—的体积为
(A)1 (B)3 (C) (D)
参考答案:
A
略
4. 已知有穷数列中,,且,从数列中依次取出构成新数列,容易发现数列是以-3为首项,-3为公比的等比数列,记数列的所有项的和为,数列的所有项的和为,则( )
A. B. C. D.与的大小关系不确定
参考答案:
A
5. 如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率,以下结论正确的是( )
A.2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势
B.相对于2014年,2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加
C.相对于2014年,2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加
D.相对于2014年,2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加
参考答案:
B
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率的条形图,逐一分析给定四个上结论的真假,可得答案.
【解答】解:由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率的条形图可得:
2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速没有明显上升的趋势,故A错误;
相对于2014年,2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加,故B正确;
相对于2014年,2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率没有明显增加,故C错误;
相对于2014年,2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率没有明显增加,故D错误;
故选:B.
6. 在复平面内,复数 对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
略
7. “a=﹣1”是“直线x+ay=1与直线ax+y=5平行”的( )条件.
A.充分但不必要 B.必要但不充分
C.充分 D.既不充分也不必要
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】a=0时,两条直线不平行;a≠0,由两条直线平行可得:﹣=﹣a,解得a.即可判断出结论.
【解答】解:a=0时,两条直线不平行;
a≠0,由两条直线平行可得:﹣=﹣a,解得a=±1.
∴“a=﹣1”是“直线x+ay=1与直线ax+y=5平行”的充分不必要条件.
故选:A.
8. 已知sin()=,则cos(2)=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
参考答案:
A
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】由二倍角公式可得cos(﹣2α),整体利用诱导公式可得cos(2)=﹣cos(﹣2α),代值可得.
【解答】解:∵sin()=,
∴cos(﹣2α)=1﹣2sin2()=,
∴cos(2)=cos[π﹣(﹣2α)]
=﹣cos(﹣2α)=﹣
故选:A
【点评】本题考查三角函数化简求值,涉及二倍角公式和诱导公式,属基础题.
9. 定义平面上两条相交直线的夹角为:两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线:,当其离心率时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 函数的零点所在的区间是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示,已知与⊙相切,为切点,过点P的割线交圆于两点,弦,相交于点,为上一点,且,若,
,则=___________.
参考答案:
12.
已知,且,则的值是 .
参考答案:
答案:
13. 已知向量,,则 .
参考答案:
14. 数列中,若,(),则 .
参考答案:
略
15.
设为坐标原点点满足则的最大值为 。
参考答案:
答案:
16. 如图所示是毕达哥拉斯树的生长过程;正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形上再连接着正方形……如此继续。若共得到31个正方形,设初始正方形边长为1,则最小正方形的边长为 .
参考答案:
17. 已知曲线在点处的切线平行于直线,则___▲___.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等差中项为13.
( 1)求an及Sn;
(2)令,求数列{bn}的前n
参考答案:
略
19. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0),过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D,交y轴于点Q,交直线于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.
(1)求证:△AFQ为等腰三角形,并求抛物线C的方程;
(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上,过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P,交直线l于点N,求△PMN面积的最小值,并求取到最小值时的x1值.
参考答案:
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程.
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:(1)设,则A处的切线方程为,即可得到得D,Q的坐标,利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|.由点A,Q,D的坐标可知:D为线段AQ的中点,利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ,可得|AF|,利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出.
(2)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为,与切线l1的方程联立即可得到点P的坐标,同理求出点M,N的坐标.进而得到三角形PMN的面积(h为点P到MN的距离),利用表达式及其导数即可得到最小值,即可得出x1的值.
解答: 解:(1)设,则A处的切线方程为,
可得:,
∴;
∴△AFQ为等腰三角形.
由点A,Q,D的坐标可知:D为线段AQ的中点,
∴|AF|=4,得:
∴p=2,C:x2=4y.
(2)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为
联立得到点P,联立得到点M.
同理,
设h为点P到MN的距离,则== ①
设AB的方程为y=kx+b,则b>0,
由得到x2﹣4kx﹣4b=0,
得代入①得:S△==,
要使面积最小,则应k=0,得到②
令,得=,则=,
所以当时,S(t)单调递减;当时,S(t)单调递增,
所以当时,S取到最小值为,此时,k=0,
所以,解得.
故△PMN面积取得最小值时的x1值为.
点评:本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法,熟练掌握其解题模式是解题的关键.
20. 已知f(x),x∈R是有界函数,即存在M>0使得|f(x)|≤M恒成立.
(1)F(x)=f(x+1)﹣f(x)是有界函数,则f(x),x∈R是否是有界函数?说明理由;
(2)判断f1(x)=,f2(x)=9x﹣2?3x是否是有界函数?
(3)有界函数f(x),x∈R满足f(x+)+f(x+)=f(x)+f(x+),f(x),x∈R是否是周期函数,请说明理由.
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】(1)根据条件举反例f(x)=x,即可判断,
(2)根据函数的性质求出函数的值域即可,
(3)根据条件进行化简,结合函数周期性的定义进行判断.
【解答】解:(1)否,反例:f(x)=x,F(x)=f(x+1)﹣f(x)=1有界,但f(x)=x无界.
(2)当x=0时,f1(x)=0,
当x≠0时,f1(x)=,
当x>0时,x+﹣2≥2﹣2=2﹣2,此时f1(x)∈(0,],
当x<0时,x+﹣2≤﹣2﹣2=﹣2﹣2,此时f1(x)∈[,0),
综上f1(x)∈[,],有界,
f2(x)=9x﹣2?3x=(3x﹣1)2﹣1≥﹣1,则|f2(x)|≥0,则f2(x)无界.
(3),
∴,,
综上,
∴f(x+1)﹣f(x)=f(x+2)﹣f(x+1)
∴f(x+n)=f(x)+n(f(x+1)﹣f(x)),∵f(x)有界,∴f(x)=f(x+1),是周期函数.
21. (本小题满分12分)
如图,一个靶子由四个同心圆组成,且半径分别为l,3,5,7.
规定:击中A,B,C,D区域分别可获得5分,3分,2分,1分,脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分.
( I)甲射击时脱靶的概率为0.02,若未脱靶则等可能地击中靶子上
的任意一点,求甲射击一次得分的数学期望;
(Ⅱ)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4,丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.
(i)乙、丙二人各射击一次,且二人击中各自范围内每一点的可能性相等,求乙得分比丙高的概率;
(ii)乙、丙二人各射击一次,记U,y分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离,且U, V取各自范围内的每个值的可能性相等,求乙获胜(即U
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