湖南省衡阳市 市石鼓区角山中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 在△ABC中,若,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
参考答案:
A
略
3. 过点且倾斜角为135°的直线方程为( )
A.y+4=3x B.y=x﹣ C. D.
参考答案:
D
【考点】直线的点斜式方程.
【分析】由直线的倾斜角为135°,所以可求出直线的斜率,进而根据直线的点斜式方程写出即可.
【解答】解:∵直线的倾斜角为135°,
∴斜率k=tan135°=﹣1,
又直线过点P(,﹣2),
∴直线的点斜式为y+2=﹣1(x﹣),
即x+y+=0.
故选:D
【点评】本题考查了直线的方程,理解直线的点斜式是解决此问题的关键.
4. 已知函数,正实数m,n满足,且,若在区间上的最大值为2,则m,n的值分别为( )
A., 2 B.,4 C.,2 D.,4
参考答案:
B
∵函数f(x)=|log4x|正实数m,n满足m0,则? log4m= log4n,
∴=n,得mn=1,
∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,
∴f(x)在区间[m2,]上的最大值为2,
∴?log4m2=2,则log4m=?1,解得m=,n=4.
5. 函数的定义域为( )
(A) (B)(1,+∞) (C)[1,2) (D)[1,+∞)
参考答案:
A
6. 两条异面直线所成角为θ,那么θ的取值范围是 ( )
A、(0o,90o] B、[0o,90o] C、[0o,180o] D、[0o,180o)
参考答案:
A
略
7. 要得到函数y=sinx的图象,只需将函数的图象( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
参考答案:
C
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由左加右减上加下减的原则即可得到结论.(注意分清谁是平移前的函数,谁是平移后的函数).
【解答】解:因为三角函数的平移原则为左加右减上加下减.y=sin[(x﹣)+]=sinx,
所以要得到函数y=sinx的图象,只需将函数的图象向左平移个单位.
故选:C.
8. 已知定义域为R的函数在上为减函数,且函数y=函数为偶函数,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 函数(其中A>0,|?|<)的图象如图所示,为了得到的图象,则只需将的图象( ).
A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位
参考答案:
A
10. 设向量且 ,则( )
A. B. C. D. 10
参考答案:
B
【分析】
先根据求出x的值,再求得解.
【详解】因为,
所以x-2=0,所以x=2.
所以.
故选:B
【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示,考查向量模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和和分析推理能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在扇形中,已知半径为,弧长为,则圆心角是 弧度,扇形面积是 .
参考答案:
略
12. 函数f(x)=的定义域是 .
参考答案:
(﹣∞,2)
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0,然后求解对数不等式得答案.
【解答】解:由lg(3﹣x)>0,得3﹣x>1,即x<2.
∴函数f(x)=的定义域是(﹣∞,2).
故答案为:(﹣∞,2).
【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查对数不等式的解法,是基础题.
13. (5分)计算:= .
参考答案:
考点: 有理数指数幂的运算性质.
专题: 计算题.
分析: 根据指数幂的运算法则进行计算即可.
解答: ==,
故答案为:.
点评: 本题主要考查指数幂的计算,利用指数幂的运算法则是解决本题的关键,比较基础.
14. 已知函数,则的单调减区间为 .
参考答案:
略
15. ①函数在第一象限是增函数;
②函数是偶函数;
③函数的一个对称中心是(,0);
④函数在闭区间上是增函数;
写出所有正确的结论的序号: 。
参考答案:
③
16. 如右图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则____________.
参考答案:
17. 已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(9)= .
参考答案:
27
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【专题】函数思想;待定系数法;函数的性质及应用.
【分析】用待定系数法求出幂函数y=f(x)的解析式,再计算f(9)的值.
【解答】解:设幂函数y=f(x)=xa,a∈R,
且图象过点,
∴2a=2,
解得a=,
∴f(x)=;
∴f(9)==27.
故答案为:27.
【点评】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题,是基础题目.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆,直线.
(1)求直线所过定点的坐标;
(2)求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.
(3)已知点,在直线上(为圆心),存在定点(异于点),满足:对于圆上任一点,都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标及该常数.
参考答案:
(1)依题意得,,
令,且,得,,∴直线过定点.
(2)当时,所截得弦长最短,由题知,.
∴,得,∴由得.
∴圆心到直线的距离为.
∴最短弦长为.
(3)法一:由题知,直线的方程为,假设存在定点满足题意,
则设,,得,且,
∴,
∴,
整理得:,
∵上式对任意恒成立,
∴且,
解得,或,(舍去,与重合),
综上可知,在直线上存在定点,使得为常数.
法二:设直线上的点.
取直线与圆的交点,则,
取直线与圆的交点,则,
令,解得或(舍去,与重合),此时,
若存在这样的定点满足题意,则必为.
下证:点满足题意,
设圆上任意一点,则,
∴,
∴.
综上可知,在直线上存在定点,使得为常数.
19. (12分)已知,求下列各式的值:
(1);
(2)
参考答案:
(1);(2)
20. 已知6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0,α∈(,π),求:
①tanα的值;
②sin(2α+)的值.
参考答案:
【考点】同角三角函数基本关系的运用;三角函数的化简求值.
【分析】①利用同角三角函数的基本关系、α的范围,求得tanα的值.
②先求得sin2α、cos2α的值,再利用两角和的正弦公式求得sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin 的值.
【解答】解:①∵6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α===0,
α∈(,π),
∴tanα=﹣,或tanα=(舍去).
②∵sin2α==﹣=﹣,cos2α===,
∴sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin=﹣+=.
21. 已知集合, .
(Ⅰ)当时,求;
(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)时,可以求出集合
--------------------2分
-------------------5分
(2)∵集合, 且,
所以,--------------8分
解之得,
即实数的取值范围是. ------------10分
22. 我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x);
(2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】(1)因为甲家每张球台每小时5元,故收费为f(x)与x成正比例即得:f(x)=5x,再利用分段函数的表达式的求法即可求得g(x)的表达式.
(2)欲想知道小张选择哪家比较合算,关键是看那一家收费低,故只要比较f(x) 与g(x)的函数的大小即可.最后选择费用低的一家即可.
【解答】解:(1)f(x)=5x,(15≤x≤40)
(2)由f(x)=g(x)得或
即x=18或x=10(舍)
当15≤x<18时,f(x)﹣g(x)=5x﹣90<0,
∴f(x)<g(x)即选甲家
当x=18时,f(x)=g(x)即选甲家也可以选乙家
当18<x≤30时,f(x)﹣g(x)=5x﹣90>0,
∴f(x)>g(x)即选乙家.
当30<x≤40时,f(x)﹣g(x)=5x﹣(2x+30)=3x﹣30>0,
∴f(x)>g(x)即选乙家.
综上所述:当15≤x<18时,选甲家;
当x=18时,选甲家也可以选乙家;
当18<x≤40时,选乙家.