浙江省金华市第二中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若则实数的取值范围是( )
A. ;B. ;C. ;D.
参考答案:
B
2. 已知三棱锥D-ABC中,,,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 6π B. 4π C. D.
参考答案:
B
【分析】
依据题中数据,利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形,进而可知外接圆的直径,即可求出三棱锥的外接球的表面积
【详解】
如图,因为 ,
又,,
从而可得三棱锥各面都为直角三角形,CD是三棱锥的外接球的直径,
在中,,,
即 ,,故选B。
【点睛】本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力,能够依据条件建立合适模型是解题的关键。
3. 如图在长方体中,,分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为,若,则截面的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a
参考答案:
C
【考点】指数函数单调性的应用.
【分析】将a=0.32,c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x,y=2x之间所对应的函数值,利用它们的图象和性质比较,将b=log20.3,抽象为对数函数y=log2x,利用其图象可知小于零.最后三者得到结论.
【解答】解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0,
由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1
∴b<a<c
故选C
【点评】本题主要通过数的比较,来考查指数函数,对数函数的图象和性质.
5. 高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )
A. B.
C.1
D.
参考答案:
C
6. 对于向量,定义为向量的向量积,其运算结果为一个向量,且规定的模(其中为向量与的夹角),的方向与向量的方向都垂直,且使得,依次构成右手系.如图所示,在平行六面体中,,,则(×)·=( )
A.4 B.8 C.2 D.4
参考答案:
D
7. 若两单位向量的夹角为,则的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
参考答案:
B
8. (5分)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是()
A. 若l⊥α,α⊥β,则l?β B. 若l∥α,α∥β,则l?β
C. 若l⊥α,α∥β,则l⊥β D. 若l∥α,α⊥β,则l⊥β
参考答案:
C
考点: 空间中直线与平面之间的位置关系.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系,逐一分析四个答案中的结论,发现A,B,D中由条件均可能得到l∥β,即A,B,D三个答案均错误,只有C满足平面平行的性质,分析后不难得出答案.
解答: 若l⊥α,α⊥β,则l?β或l∥β,故A错误;
若l∥α,α∥β,则l?β或l∥β,故B错误;
若l⊥α,α∥β,由平面平行的性质,我们可得l⊥β,故C正确;
若l∥α,α⊥β,则l⊥β或l∥β,故D错误;
故选C
点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点);②利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);③利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β);④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?,a∥α?a∥β).线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.
9. 若集合有4个子集,则实数的取值范围是( )
A. B.R
C.R D.且R
参考答案:
D
10. 在上运算:,若不等式对任意实数成立,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
不等式化简为:
,
即:对任意成立,
∴,
解得,选择.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,则的值为 .
参考答案:
12. (3分)若函数f(x)=min{2x,x+2,10﹣x}(x≥0),则f(x)的最大值是 .
参考答案:
6
考点: 函数的最值及其几何意义.
专题: 数形结合;函数的性质及应用.
分析: 画出3个函数:y=2x,y=x+2,y=10﹣x的图象,
取3个图象中下方的部分,可得函数f(x)=min{2x,x+2,10﹣x}的图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值.
解答: ∵min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,∴画出3个函数:y=2x,y=x+2,y=10﹣x的图象,
取3个图象中下方的部分,可得函数f(x)=min{2x,x+2,10﹣x}的图象:
观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)=2x,
当2≤x≤4时,f(x)=x+2,
当x>4时,f(x)=10﹣x,
f(x)的最大值在x=4时取得为6,
故答案为:6.
点评: 本题考查了函数最值问题,利用数形结合可以很容易的得到最大值.
13. 在中,,则角的最小值是 .
参考答案:
14. 设是定义在上的奇函数,且当时,,则
参考答案:
-1;
15. 已知函数图象的对称中心与函数图象的对称中心完全相同,且当时,函数取得最大值,则函数的解析式是 .
参考答案:
16. 已知都是锐角,则 ▲ .
参考答案:
略
17. 若定义在上的函数对任意的,都有成立,且当时,若则不等式的解集为 .
参考答案:
(-∞,)
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在等差数列{an}中,,,等比数列{bn}中,,.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若,求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1), (2)
【分析】
(1)根据等差数列的通项公式求出首项,公差和等比数列的通项公式求出首项,公比即可.
(2)由用错位相减法求和.
【详解】(1)在等差数列中,设首项为,公差为.
由,有 ,解得:
所以
又设的公比为,由,,得
所以.
(2)
…………………………………①
……………②
由①-②得
所以
【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题.
19. 设,其中,如果
,求实数的取值范围。
参考答案:
略
20. (12分) 函数一段图象如图所示。
(1)分别求出并确定函数的解析式;
(2)并指出函数的图像是由函数的图像怎样变换得到。
参考答案:
解:(1)由函数的图象可知A=2,T=π,所以 T= ,ω=2,因为函数的图象经过
所以,又,所以 ;
所以函数的解析式为: (注意其他方法)
(2)将函数的图像向左平移个单位得到的图像,纵坐标不变横
坐标缩小到原来的倍得到函数 的图像,接下来横坐标不变纵坐标扩大
到原来的2倍得到函数的图像。(注意其他变换方法)
略
21. 一个盒子中装有张卡片,每张卡片上写有个数字,数字分别是、、、.现从盒子中随机抽取卡片.
(I)若一次抽取张卡片,求张卡片上数字之和大于的概率;
(II)若第一次抽张卡片,放回后再抽取张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字的概率.
参考答案:
解:
(1)设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”,
任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是,,,.其中数字之和大于的是,,
所以.
(2)设表示事件“至少一次抽到”,
第一次抽1张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:,共个基本结果.
事件包含的基本结果有,共个基本结果.
所以所求事件的概率为.
22. 已知f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若y=f(x+φ)关于直线x=对称,求|φ|的最小值;
(3)当x∈[0,]时,若方程|f(x)|﹣m=0有4个不同的实数解,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】H5:正弦函数的单调性;54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式化简,再由复合函数的单调性求得函数f(x)的单调递减区间;
(2)求出f(x+φ),由y=f(x+φ)关于直线x=对称,可得2φ+=kπ,k∈Z,得φ=,k∈Z.进一步求得|φ|的最小值;
(3)画出|f(x)|在[0,]上的图象,数形结合得答案.
【解答】解:(1)f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1
===.
由,k∈Z,
得,k∈Z.
∴函数f(x)在R上的单调递减区间是[],k∈Z;
(2)f(x+φ)=2sin[2(x+φ)+]=2sin(2x+2φ+),
∵x=是f(x+φ)的对称轴,
∴2φ+=kπ,k∈Z,即φ=,k∈Z.
∴|φ|的最小值为;
(3)|f(x)|在[0,]上的图象如下:
当直线y=m与函数y=|f(x)|的图象有4个不同交点时,就是方程
|f(x)|﹣m=0有4个不同的实数根,由图可知,m的取值范围是?.