湖南省益阳市文溪中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为,左、右顶点将线段三等分,则该双曲线的渐近线方程为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
2. 已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )
A.x3>y3 B.sinx>siny
C.ln(x2+1)>ln(y2+1) D.>
参考答案:
A
考点:指数函数的图像与性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.
解答: 解:∵实数x,y满足ax<ay(0<a<1),∴x>y,
A.当x>y时,x3>y3,恒成立,
B.当x=π,y=时,满足x>y,但sinx>siny不成立.
C.若ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为x2>y2成立,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2>y2不成立.
D.若>,则等价为x2+1<y2+1,即x2<y2,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2<y2不成立.
故选:A.
点评:本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.
3. 如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是
,,则复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
B
略
4. 的展开式中,二项式系数的最大值为
A.5 B.10 C.15 D.20
参考答案:
B
5. 设满足约束条件,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知函数f(x)=Atan(ωx+?)(ω>0,|?|<),y=f(x)的部分图象如图所示,则=( )
A.3 B. C.1 D.
参考答案:
A
【考点】HC:正切函数的图象.
【分析】由图可知,于是可求得ω,再由图象过,可求得Φ,最后由图象过(0,1),可求得A,于是可得答案.
【解答】解:由题知,
∴,∴,
又∵图象过,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵图象过(0,1),
∴,
∴,
∴,
∴,
故选:A.
7. 将函数y=4x+3的图象按向量a平移到y=4x+16的图象,则向量a可以为
A.(3,1) B.(-3,-1) C.(3,-1) D.(-3,1)
参考答案:
D
8. .从抛物线图像上一点引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线焦点为,则的面积为
A.10 B.8 C. 6 D.4
参考答案:
A
9. 已知等差数列{}的前n项和为,则的最小值为( )
A.7 B.8 C. D.
参考答案:
D
10. 有关下列命题的说法正确的是
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:若“x2=1则x≠1”
B.“”是“”的必要不充分条件
C.命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
参考答案:
D
若x2=1,则x=1”的否命题为,则,即A错误。若,则或,所以“”是“”的充分不必要条件,所以B错误。x∈R,使得x2+x+1<0的否定是x∈R,均有,所以C错误。命题若x=y,则sinx=siny正确,所以若x=y,则sinx=siny的逆否命题也正确,所以选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知非零向量、满足||=||,那么向量+与向量﹣的夹角为 .
参考答案:
90°
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量数量积的定义先计算(+)?(﹣)=0,得到向量+与向量﹣的夹角为90°.
【解答】解:∵||=||,
∴(+)?(﹣)=||2﹣||2=0,
即(+)⊥(﹣),
则向量+与向量﹣的夹角为90°,
故答案为:90°.
12. 观察下列等式:根据上述规律,第个等式为 .
参考答案:
13. 在球O的内接四面体ABCD中,且,则A,B两点的球面距离是_______________
参考答案:
略
14. 在长度为12cm的线段AB上任取一点C,现在一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20的概率为 .
参考答案:
略
15. 不等式 的解集是
参考答案:
原不等式等价为,解得,即原不等式的解集为。
16. 函数的最小正周期是 .
参考答案:
17. 已知数列是公差不为0的等差数列,是等比数列,其中,,,,若存在常数对任意正整数都有,则 .
参考答案:
6
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数,
(1)求函数的最小正周期;
(2)在中,已知为锐角,,,求边的长.
参考答案:
(1)由题意可得
19. 已知椭圆C:(a>b>0)的离心率是,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的端点,△A1BA2的面积为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)F2为椭圆C的右焦点,若点P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,直线A1P,A2P与直线x=4 分别交于M,N两点,证明:以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2.
参考答案:
(Ⅰ)解:由已知 …………2分
解得,. …………4分
故所求椭圆方程为. …………5分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,,.
设,则.
于是直线方程为 ,令,得;
所以,同理. …………7分
所以,.
所以
.
所以 ,点在以为直径的圆上. …………9分
设的中点为,则.
又,
所以
.
所以 . …………11分
因为是以为直径的圆的半径,为圆心,,
故以为直径的圆与直线相切于右焦点. …………12分
20. (本小题满分14分)
已知椭圆,F1、F2为椭圆的左、右焦点,A、B为椭圆的左、右顶点,点P为椭圆上异于A、B的动点,且直线PA、PB的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,试问:在x轴上是否存在两个定点,使得这两个定点到直线l的距离之积为4?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)解:,设,则
依题意,得
∴椭圆标准方程为 5分
(2)解:①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y = kx + p,代入椭圆方程得
(1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2-8 = 0 6分
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点
所以△=16k2p2-4(1 + 2k2)(2p2-8) = 8(4 + 8k2-p2) = 0
即4 + 8k2 = p2 8分
设x轴上存在两个定点(s,0),(t,0),使得这两个定点到直线l的距离之积为4,则
即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*),或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**)
由(*)恒成立,得,解得 12分
(**)不恒成立.
②当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为时
定点(-2,0)、F2(2,0)到直线l的距离之积.
综上,存在两个定点(2,0)、(-2,0),使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4. 14分
注:第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点,则扣2分;
第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点,再给予一般性证明也可。
21. (本小题满分14分)
已知,且.设函数
(1) 求函数的解析式;
(2) 若在锐角中,,边,求周长的最大值.
参考答案:
解:(1) (4分)
(2) 由(1)及知:2sinA=,sinA=.
∵ 0
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