广东省湛江市友好中学2022-2023学年高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设定义在上的函数满足,若,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
2. 如图,二面角的大小为,,且,,则AD与β所成角的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 在△ABC中,“”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】充要条件.
【专题】简易逻辑.
【分析】“”?A=90°?“△ABC为直角三角形”,反之不成立,可能为B或C=90°.即可判断出.
【解答】解:“”?A=90°?“△ABC为直角三角形”,
反之不成立,可能为B或C=90°.
因此“”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件.
故选:A.
【点评】本题考查了充要条件的判定方法,考查了推理能力,属于基础题.
4. 已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,记y=f(x),则y=f(x)的图象是( )
参考答案:
A
6. 如图所示的程序框图,如果输入的n为6,那么输出的n为( )
A.16 B.10 C.5 D.3
参考答案:
C
考点:程序框图.
专题:算法和程序框图.
分析:根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,确定输出的n值.
解答: 解:当输入的n=6,由程序框图知:第一次循环n=3,i=1;
第二次循环n=3×3+1=10,i=2;
第三次循环n=5,i=3,
不满足条件i<3,跳出循环体,输出n=5.
故选:C.
点评:本题考查了选择结构与循环结构相结合的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
7. 在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)所表示平面区域的面积等于2,则的值为( )]
A.-5 B.1 C.2 D.3
参考答案:
D
8. 定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且,则不等式的解集是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
略
9. 下列选项中,说法正确的是( )
A.若a>b>0,则
B.向量(m∈R)共线的充要条件是m=0
C.命题“?n∈N*,3n>(n+2)?2n﹣1”的否定是“?n∈N*,3n≥(n+2)?2n﹣1”
D.已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,则命题“若f(a)?f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
参考答案:
D
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】A,因为函数y=在(0,+∞)是减函数;
B,向量(m∈R)共线?1×(2m﹣1)=m×m?m=1;
C,命题“?n∈N*,3n>(n+2)?2n﹣1”的否定是“?n∈N*,3n≤(n+2)?2n﹣1”;
D,因为f(a)?f(b)≥0时,f(x)在区间(a,b)内也可能有零点;
【解答】解:对于A,因为函数y=在(0,+∞)是减函数,故错;
对于B,向量(m∈R)共线?1×(2m﹣1)=m×m?m=1,故错;
对于C,命题“?n∈N*,3n>(n+2)?2n﹣1”的否定是“?n∈N*,3n≤(n+2)?2n﹣1”,故错;
对于D,命题“若f(a)?f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为:“f(x)在区间(a,b)内有一个零点“,则f(a)?f(b)<0:因为f(a)?f(b)≥0时,f(x)在区间(a,b)内也可能有零点,故正确;
故选:D
10. 函数(其中)的图象如下面右图所示,则函数的图象是 ( )
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动,且线段 ,记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题:
①; ②; ③;
④函数在上是增函数,在上是减函数.
其中为真命题的是 (写出所有真命题的序号)
参考答案:
①④
本题考查空间几何体的结构特征,点的轨迹.如图所示,当时,,所以,即①正确;当时,如图,求得,,所以,所以,即②错误;,即③错误;而,所以函数在上是增函数,在上是减函数,即④正确;所以真命题的是①④.
12. 对于函数f(x),若存在区间A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数f(x)为“同域函数”,区间A为函数f(x)的一个“同城区间”.给出下列四个函数:
①f(x)=cosx;②f(x)=x2﹣1;③f(x)=|x2﹣1|;④f(x)=log2(x﹣1).
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是 (请写出所有正确的序号)
参考答案:
①②③
【考点】34:函数的值域.
【分析】根据同域函数及同域区间的定义,再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间,而通过判断f(x)和函数y=x交点的情况,容易判断函数④不存在同域区间.
【解答】解:①f(x)=,x∈[0,1]时,f(x)∈[0,1],所以①存在同域区间;
②f(x)=x2﹣1,x∈[﹣1,0]时,f(x)∈[﹣1,0],所以②存在同域区间;
③f(x)=|x2﹣1|,x∈[0,1]时,f(x)∈[0,1],所以③存在同域区间;
④f(x)=log2(x﹣1),判断该函数是否有同域区间,即判断该函数和函数y=x是否有两个交点;
而根据这两个函数图象可以看出不存在交点,所以该函数不存在同域区间.
故答案为:①②③.
【点评】考查对同域函数及同域区间的理解,二次函数、余弦函数的值域的求解,知道通过判断函数f(x)和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法.
13. 在中,内角所对的边分别为,已知,且,则面积的最大值为 .
参考答案:
由已知有,,由于,
又,则,
当且仅当时等号成立.故面积的最大值为.
14. 在正四棱锥P—ABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为60°,则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .(结果用反三角函数值表示)
参考答案:
答案:arctg2
15. 等比数列满足,则
参考答案:
16. 已知的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中含x的系数为 .
参考答案:
﹣41
【考点】二项式定理的应用.
【分析】根据展开式中各项系数的和2求得m的值,再把二项式展开,求得该展开式中含x的系数.
【解答】解:∵已知的展开式中各项系数的和为m+1=2,∴m=1,
∴=(x+)?(?(2x)5﹣?(2x)4+?(2x)3﹣?(2x)2+?2x﹣),
则该展开式中含x的系数为﹣﹣?4=﹣41,
故答案为:﹣41.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.
17. 函数y = f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示).
1 当时,y的取值范围是 ;
2 果对任意 (b <0),都有,那么b的最大值是 .
参考答案:
;
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中,直线l过点P(2,)且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ﹣),直线l与曲线C相交于A,B两点;
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若,求直线l的倾斜角α的值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,能求出曲线C的直角坐标方程.
(2)设出直线方程,求出圆心到直线的距离,由已知求出直线的斜率,由此能求出直线l的倾斜角α的值.
【解答】解:(1)∵,∴…
∴,∴,
∴曲线C的直角坐标方程为.…
(2)当α=900时,直线l:x=2,∴,∴α=900舍 …
当α≠900时,设tanα=k,则,
∴圆心到直线的距离
由,
∴,∵α∈(0,π),∴.…
19. 如图,三棱柱中,侧面底面,,
且,O为中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在上是否存在一点,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置.
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:因为,且O为AC的中点,
所以.…1分
又由题意可知,平面平面,交线为,且平面,
所以平面.…4分
(Ⅱ)如图,以O为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知,又;
.
所以得:
则有:
设平面的一个法向量为,则有
,令,得
所以.…6分
.
因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余,所以. …8分
(Ⅲ)设
即,得
所以得…10分
令平面,得 ,
即得
即存在这样的点E,E为的中点.…12分
略
20. (本题满分14分)
如下图(图1)等腰梯形PBCD,A为PD上一点,且AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角,连结PC、PD,在AD上取一点E使得3AE=ED,连结PE得到如下图(图2)的一个几何体.
(1)求证:平面PAB平面PCD;
(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.
参考答案:
(1)证明:,又二面角P-AB-D为
,又AD=2PA
有平面图形易知:AB平面APD,又,,
,且
,又,平面PAB平面PCD---------7分
(2)设E到平面PBC的距离为,AE//平面PBC
所以A 到平面PBC的距离亦为
连结AC,则,设PA=2
=
,设PE与平面PBC所成角为
---------------14分
21. (12分)
某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:,
k
参考答案:
解:(1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
(i)由茎叶图可知:用第一种生产