广东省湛江市赤坎中学2022年高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,已知,则=( )
A.7 B. C. D.
参考答案:
D
【考点】等差数列的性质.
【分析】由已知,根据等差数列的性质,把转化为求解.
【解答】解:.
故选:D.
2. 从10名大学生村官中选3个人担任乡长助理,则甲、丙至少有1人人选,而乙没有人选的不同选法的种数位为
A. 85 B. 56 C. 49 D. 28
参考答案:
C
3. 实数满足,则四个数的大小关系为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 已知函数的定义域为,且满足,当时,,则函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
5. 若,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
7. 设集合,若,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是(单位:cm3)( )
A.π B.2π C.4π D.8π
参考答案:
A
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】由已知的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的柱体,分别求出底面面积和高,代入柱体体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的柱体,
其底面是一个半径为1cm的半圆,故S=cm2,
高为h=2cm,
故柱体的体积V=Sh=πcm3,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.
9. 已知向量a =,向量b =,那么a与b夹角的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:D
10. 设的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列的前项和为,若=10,则=_______________.
参考答案:
95
12.
已知是原点,点的坐标满足,则的取值范围为 .
参考答案:
答案:[-3,3]
13. 设数列的前项和为,且,为等差数列,则 的通项公式____________.
参考答案:
14. 有一边长为1的正方形ABCD, 则.
参考答案:
2
15. 在中,,则的值为___________.
参考答案:
略
16. 在平面四边形中,,,,,则BD的最大值为 .
参考答案:
8
试题分析:因,故,即的外接圆的直径为,又,所以,设,故,所以在中,应用余弦定理可得,由于,所以,所以,当时,,应填8.
17. 已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x﹣1,函数g(x)=x2﹣2x+m.如果对于?x1∈[﹣2,2],?x2∈[﹣2,2],使得g(x2)=f(x1),则实数m的取值范围是 .
参考答案:
[﹣5,﹣2]
【考点】指数函数综合题;特称命题.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】求出函数f(x)的值域,根据条件,确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,∴f(0)=0,
当x∈(0,2]时,f(x)=2x﹣1∈(0,3],
则当x∈[﹣2,2]时,f(x)∈[﹣3,3],
若对于?x1∈[﹣2,2],?x2∈[﹣2,2],使得g(x2)=f(x1),
则等价为g(x)max≥3且g(x)min≤﹣3,
∵g(x)=x2﹣2x+m=(x﹣1)2+m﹣1,x∈[﹣2,2],
∴g(x)max=g(﹣2)=8+m,g(x)min=g(1)=m﹣1,
则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3,
解得m≥﹣5且m≤﹣2,
故﹣5≤m≤﹣2,
故答案为:[﹣5,﹣2]
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,以及函数最值之间的关系,综合性较强.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数
(1)当时,求的极值
(2)当时,求的单调区间
(3)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围。
参考答案:
↘ 极小值 ↗
19. (本小题满分13分)
某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.
(Ⅰ)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;
(Ⅱ)记为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布列和数学期望.
参考答案:
(Ⅰ)解:设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件,则 ,
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为. ………………4分
(Ⅱ)解:随机变量的所有取值为. ………………5分
,,, , . ………………10分
所以,随机变量的分布列为:
………11分
. ………………13分
20. 四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA=AD,M,N分别是棱PC,AB的中点,且MN⊥CD.
(Ⅰ)求证:PN=CN;
(Ⅱ)直线MN与平面PBD相交于点F,求MF:FN.
参考答案:
考点: 点、线、面间的距离计算;空间中直线与平面之间的位置关系.
专题: 综合题;空间位置关系与距离.
分析: (Ⅰ)取PD中点E,连AE,EM,证明MN⊥平面PCD,可得MN⊥PC,即可证明PN=CN;
(Ⅱ)设M,N,C,A到平面PBD的距离分别为d1,d2,d3,d4,则d3=2d1,d4=2d2,由VA﹣PBD=VC﹣PBD,得d3=d4,则d1=d2,即可得出结论.
解答: (Ⅰ)证明:取PD中点E,连AE,EM,
则EM∥AN,且EM=AN,
四边形ANME是平行四边形,MN∥AE.
由PA=AD得AE⊥PD,故MN⊥PD.
又因为MN⊥CD,所以MN⊥平面PCD,
则MN⊥PC,PN=CN.…(6分)
(Ⅱ)解:设M,N,C,A到平面PBD的距离分别为d1,d2,d3,d4,则d3=2d1,d4=2d2,
由VA﹣PBD=VC﹣PBD,得d3=d4,则d1=d2,
故MF:FN=d1:d2=1:1.…(12分)
点评: 本题考查线面垂直的证明,考查等体积的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
21. (本小题满分14分)某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第个月的利润 (单位:万元),为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第个月的当月利润率 ,例如:.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求第个月的当月利润率;ks5u
(Ⅲ)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.
参考答案:
(Ⅰ)由题意得
∴.………………………2分
(2)当时,
∴.----------4分
当时,
……………………7分
∴当第个月的当月利润率为
……………………………8分
(Ⅲ)当时,是减函数,
此时的最大值为 ……………………… 9分
当时,
当且仅当时,即时,,…………………12分
,∴当时, ………………………13分
答:该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,最大值为. …14分
22. 如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交⊙O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE.
参考答案:
略