广西壮族自治区来宾市实验中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐,黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数(万人次)的变化情况,从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表,在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中,错误的是( )
A.旅游总人数逐年增加
B.2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和
C.年份数与旅游总人数成正相关
D.从2014年起旅游总人数增长加快
参考答案:
B
从图表中看出,选项明显错误.
2. 设集合A={x∈N|,0≤x≤2},B={x∈N|1≤x≤3},则A∪B=( )
A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}
参考答案:
B
【考点】1D:并集及其运算.
【分析】化简集合A、B,根据并集的定义写出A∪B.
解:集合A={x∈N|,0≤x≤2}={0,1,2},
B={x∈N|1≤x≤3}={1,2,3},
则A∪B={0,1,2,3}.
故选:B.
3. 已知向量( )
A. B. C. D.
参考答案:
4. 函数与函数的图像所有交点的横坐标之和为
A.2 B. 4 C. 6 D. 8
参考答案:
B
略
5. 某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是
A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
参考答案:
C
从名学生中抽取名,每人抽一个,号学生被抽到,则抽取的号数就为,可得出号学生被抽到.
6. 已知函数f(x)=cos4x+sin2x,下列结论中错误的是( )
A.f(x)是偶函数 B.函f(x)最小值为
C.是函f(x)的一个周期 D.函f(x)在(0,)内是减函数
参考答案:
D
【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.
【分析】根据奇偶性的定义,判断函数f(x)是偶函数;
化简函数f(x),求出它的最小值为;
化简f(x),求出它的最小正周期为;
判断f(x)在x∈(0,)上无单调性.
【解答】解:对于A,函数f(x)=cos4x+sin2x,其定义域为R,
对任意的x∈R,有f(﹣x)=cos4(﹣x)+sin2(﹣x)=cos4x+sin2x=f(x),
所以f(x)是偶函数,故A正确;
对于B,f(x)=cos4x﹣cos2x+1=+,
当cosx=时f(x)取得最小值,故B正确;
对于C,f(x)=+
=+
=+
=+
=+,
它的最小正周期为T==,故C正确;
对于D,f(x)=cos4x+,当x∈(0,)时,4x∈(0,2π),
f(x)先单调递减后单调递增,故D错误.
故选:D.
7. 如图,网格纸上小正方形的边长1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
参考答案:
B
该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半.
8. 双曲线的左、右焦点分别为,若为其上一点,且,,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 已知集合M={x|x<3,N={x|},则M∩N=( )
A. B.{x|0<x<3 C.{x|1<x<3 D.{x|2<x<3
参考答案:
D
略
10. 已知集合,集合,则A∪B=( )
A. (-∞,2) B. (-∞,2]
C.(0,2) D.[0,+∞)
参考答案:
D
【分析】
可求出集合,,然后进行并集的运算即可.
【详解】解:,;
.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中,B(10,0),直线BC与圆Γ:x2+(y-5)2=25相切,切点为线段BC的中点.若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心,则点A的坐标为 .
参考答案:
【答案解析】(0,15) 或 (-8,-1)解析:由已知得过点B与圆相切的切线长为10,则以B为圆心,切线长为半径的圆的方程为与已知圆的方程联立 解得切点坐标为(0,0)或(4,8),所以C点坐标为(-10,0)或
(-2,16),又已知圆心坐标为(0,5)设A点坐标为(x,y),利用三角形重心坐标公式得A点坐标为(0,15) 或 (-8,-1).
【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标,可转化为两圆的交点问题,联立方程求切点坐标.
12. 若实数x,y满足,则的最大值是 .
参考答案:
11
作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,
把目标函数z=2x+y化为y=-2x+z,
由 ,解得A(5,1),
当目标函数经过点A(5,1)时,取得最大值,此时最大值为zmax=2×5+1=11.
13. 已知=(,),||=1,|+2|=2,则在方向上的投影为 .
参考答案:
﹣
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方,可得?,再由在方向上的投影为,计算即可得到所求.
【解答】解: =(,),||=1,|+2|=2,
可得||=1,|+2|2=4,
即为2+4?+42=4,
即有1+4?+4=4,
?=﹣,
可得在方向上的投影为=﹣.
故答案为:﹣.
14. 设 则__________;
参考答案:
15. 直线与圆C:交于E、F两点,则的面积为________.
参考答案:
【分析】
首先利用点到直线的距离公式求C到直线EF的距离,再由勾股定理求得EF的长,最后利用三角形的面积公式计算△ECF的面积.
【详解】圆心C(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离,所以,所以,故答案为.
【点睛】直线和圆相交求面积问题,首先利用几何法求出圆心到直线的距离,再由勾股定理求出直线被圆截得的弦长公式,最后利用三角形的面积公式求得面积.
16. 已知是所在平面内一点,,现在内任取一点,则该点落在内的概率是 .
参考答案:
如图:
,
可得,所以点到的距离是点到的距离的,.
17. 若分别是的所对的三边,且,则圆M: 被直线:所截得的弦长为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 若函数的图象与直线为常数)相切,并且切点的横坐标依次成等差数列,且公差为
(I)求的值;
(Ⅱ)若点是图象的对称中心,且,求点A的坐标.
参考答案:
略
19. 李克强总理在2018年政府工作报告指出,要加快建设创新型国家,把握世界新一轮科技革命和产业变革大势,深入实施创新驱动发展战略,不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召,大力研发新产品,争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价,将该款手机按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:
单价x(千元)
3
4
5
6
7
8
销量y(百件)
70
65
62
59
56
t
已知.
(1)若变量x,y具有线性相关关系,求产品销量y(百件)关于试销单价x(千元)的线性回归方程;
(2)用(1)中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个子,求“好数据”个数的分布列和数学期望.
(参考公式:线性回归方程中的估计值分别为.
参考答案:
(1) (2)见解析
【分析】
(1) 根据所给数据,先计算出,计算,,,代入公式求,再由求即可 (2)利用回归方程计算销量的预测值,找到4个“好数据”:、、、,于是可写出的所有可能取值为,计算即可.
【详解】(1)由,可求得,
故,,,,
代入可得,
,
所以所求的线性回归方程为.
(2)利用(1)中所求的线性回归方程可得,当时,=70;当 时,=66;当时,=62;当时,=58;当时,=54;当时,=50.
与销售数据对比可知满足的共有4个“好数据”:、、、
于是的所有可能取值为
,,,
∴ 的分布列为:
1
2
3
P
所以.
20. 如图,两铁路线垂直相交于站A,若已知AB=100公里,甲火车从A站出发,沿AC方向以50公里/小时的速度行驶,同时乙火车以v公里/小时的速度从B站沿BA方向行驶至A即停止前行,甲仍继续行驶
(1)求甲,乙两车的最近距离(两车的长忽略不计);
(2)若甲,乙两车开始行驶到甲,乙两车相距最近所用时间为t0小时,问v为何值时t0最大.
参考答案:
解:(1)设乙车行驶t小时到D,甲车行驶t小时到E
若0≤vt≤100,则DE2=AE2+AD2=(100﹣vt)2+(50t)2=(2500+v2)t2﹣200vt+10000
∴时,DE2取到最小值,DE也取到最小值,最小值为
若vt>100,乙车停止,甲车继续前行,DE越来越大,无最大值
综上,甲,乙两车的最近距离为公里;
(2)=≤=1,当且仅当,即v=50公里/小时,t0最大
略
21. (13分)
由大于0的自然数构成的等差数列,它的最大项为26,其所有2项的和多为70.
(1)求数列的项数n;
(2)求此数列.
参考答案:
解析:设数列的首项为,公差为d(a,d)
若d>0时,由知末项最大且为26.
于是
又
从而
可知n=3,4,5
若n=3时,由①式知,不可取
若n=4时,由①式知 亦不可取
若n=5时,由①式知,a1=2而d=6符合条件,从而n=5.………………(8分)
于是数列2,8,14,20,26
在d<0时,可同理求得n=5,数列为:26,20,14,8,2.………………(13分)
22. 已知函数f(x)=(2cosωx+sinωx)sinωx﹣sin2(+ωx)(ω>0),且函数y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(Ⅰ)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ) 求函数f(x)在区间上的值域.
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;三角函数的最值.
【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】(Ⅰ)由条件利用三家恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求ω的值和函数f(x)的单调递增区间.
(Ⅱ) 由条件利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在区间上的值域.
【解答】解:(Ⅰ)
==.
由函数f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,知=,
即ω=1,所以.
令,解得:kπ﹣≤x≤kπ+,
所以函数f(x)的单调递增区间