广西壮族自治区梧州市藤县第二中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
2. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D.
参考答案:
A
函数的定义域为,函数的导数为,由,得,解得或(舍去),选A.
3. 设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为( )
A.[﹣1,2] B.[﹣2,1] C.[﹣3,﹣2] D.[﹣3,1]
参考答案:
B
【考点】简单线性规划.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解即可.
【解答】解:由z=ax+y得y=﹣ax+z,直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a,y轴上的截距为z的直线,
作出不等式组对应的平面区域如图:
则A(1,1),B(2,4),
∵z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,
∴直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,
经过点A时取得最小值为a+1,
若a=0,则y=z,此时满足条件,
若a>0,则目标函数斜率k=﹣a<0,
要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,
则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1,
即0<a≤1,
若a<0,则目标函数斜率k=﹣a>0,
要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,
则目标函数的斜率满足﹣a≤kAC=2,
即﹣2≤a<0,
综上﹣2≤a≤1,
故选:B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件确定A,B是最优解是解决本题的关键.注意要进行分类讨论.
4. 己知函数f(x)的定义域是,对任意的,有.当时,.给出下列四个关于函数的命题:
①函数f(x)是奇函数;
②函数f(x)是周期函数;
③函数f(x)的全部零点为,;
④当算时,函数的图象与函数f(x)的图象有且只有4个公共点.
其中,真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
B
【分析】
由周期函数的定义得到②正确;,可以得到函数不是奇函数,故①错误;,又是周期为2的函数,可得③正确;求出的根即可判断④错误,从而得解.
【详解】∵对任意的,有,∴对任意的,,
∴是周期为2的函数,
∴,
又∵当时,,∴,∴函数不是奇函数,故①错误,②正确.
当时,,∴,又∵是周期为2的函数,∴函数的全部零点为,,故③正确.
∵当时,,令,解得(舍)或;
当时,,令,则,解得或(舍);
当时,,令,则,解得或(舍),
∴共有3个公共点,故④错误.
因此真命题的个数为2个.
故选:
【点睛】本题主要考查函数性质的综合运用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的x的取值范围是 ( )
A. B. C.D.(-2,2)
参考答案:
答案:D
6. 若A={x|0<x<},B={x|1≤x<2},则A∪B=( )
A.{x|x≤0} B.{x|x≥2} C.{0≤x≤}D.{x|0<x<2}
参考答案:
D
【考点】并集及其运算.
【分析】把两集合的解集表示在数轴上,根据图形可求出两集合的并集.
【解答】解:由,B={x|1≤x<2},
两解集画在数轴上,如图:
所以A∪B={x|0<x<2}.
故选D
7. 椭圆y2+=1(0<m<1)上存在点P使得PF1⊥PF2,则m的取值范围是( )
A.[,1) B.(0,] C.[,1) D.(0,]
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由已知得短轴顶点B与焦点F1,F1所成角∠F1BF2≥90°,从而≥m,由此能求出m的取值范围.
【解答】解:∵椭圆y2+=1(0<m<1)上存在点P使得PF1⊥PF2,
∴短轴顶点B与焦点F1,F1所成角∠F1BF2≥90°,
∴≥m,
由0<m<1,解得0<m≤.
故选:B.
8. 已知x∈(﹣,0),tanx=﹣,则sin(x+π)等于( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
参考答案:
D
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】根据x的取值范围,tanx的值易得sinx=﹣,所以结合诱导公式求得sin(x+π)的值即可.
【解答】解:因为x∈(﹣,0),tanx=﹣,
所以sinx=﹣,
∴sin(x+π)=﹣sinx=.
故选:D.
【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用,属于基本知识的考查.
9. 已知为等差数列,若,则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
10. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为 ( )
A.7 B.9 C.10 D.15
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若点在曲线(为参数,)上,则的取值范围是 .
参考答案:
12. 若一个底面边长为,棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为 .
参考答案:
答案:
解析:根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,由得R=,球体积为
13. 设x,y满足约束条件,则z=x+3y+m的最大值为4,则m的值为 .
参考答案:
﹣4
【考点】简单线性规划.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合z=x+3y+m的最大值为4,建立解关系即可求解m的值.
【解答】解:由z=x+3y+m得﹣,
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):
平移直线﹣由图象可知当直线﹣经过点A时,直线﹣的截距最大,
此时z也最大,由,解得,即A(2,2),
将A代入目标函数z=x+3y+m,得2+3×2+m=4.
解得m=﹣4,
故答案为:﹣4.
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.
14. 展开式中,形如的项称为同序项,形如的项称为次序项,如q是一个同序项,是一个次序项。从展开式中任取两项,恰有一个同序项和一个次序项的概率为 。
参考答案:
15. 已知曲线C的参数方程为(为参数),
则曲线C上的点到直线的距离的最大值为_________.
参考答案:
16. 若,则_______.
参考答案:
【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值.C7
【答案解析】 解析:因为所以
.
【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.
17. 对于命题:若是线段上一点,则有将它类比到平面的情形是: 若是△内一点,则有将它类比到空间的情形应该是:若是四面体内一点,则有 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a≠0),(其中p为非零常数,n∈N*).
(1)判断数列是不是等比数列?
(2)求an;
(3)当a=1时,令,Sn为数列{bn}的前n项和,求Sn.
参考答案:
考点:
数列的求和;等比关系的确定..
专题:
综合题;等差数列与等比数列.
分析:
(1)由an+2=p?可求得=p?,利用等比数列的定义即可判断数列是否为等比数列;
(2)利用累乘法an=?…?a1=(apn﹣2)×(apn﹣3)×…×(ap0)×1即可求得an;
(3)当a=1时,bn==np2n﹣1,利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列{bn}的前n项和Sn.
解答:
解:(1)由an+2=p?得=p? …(1分)
令cn=,则c1=a,cn+1=pcn.
∵a≠0,
∴c1≠0,故=p(非零常数),
∴数列是等比数列,…(3分)
(2)∵数列{cn}是首项为a,公比为p的等比数列,
∴cn=c1?pn﹣1=a?pn﹣1,
即=apn﹣1. …(4分)
当n≥2时,an=?…?a1=(apn﹣2)×(apn﹣3)×…×(ap0)×1=an﹣1,…(6分)
∵a1满足上式,
∴an=an﹣1,n∈N*. …(7分)
(3)∵=?=(apn)×(a?pn﹣1)=a2p2n﹣1,
∴当a=1时,bn==np2n﹣1. …(8分)
∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n﹣1,①
p2Sn=1×p3+…+(n﹣1)p2n﹣1+n×p2n+1②
∴当p2≠1,即p≠±1时,①﹣②得:(1﹣p2)Sn=p1+p3+…+p2n﹣1﹣np2n+1,
∴Sn=﹣,p≠±1. …(11分)
而当p=1时,Sn=1+2+…+n=,…(12分)
当p=﹣1时,Sn=(﹣1)+(﹣2)+…+(﹣n)=﹣.…(13分)
综上所述,Sn=…(14分)
点评:
本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想,属于难题.
19. 等差数列{an}中,a2+a3+a4=15,a5=9.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列{×bn}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和;84:等差数列的通项公式.
【分析】(Ⅰ)先设出公差为d首项为a1,根据题意和等差数列的通项公式列出方程组,再解方程组;
(Ⅱ)把(Ⅰ)求出的an代入bn求出bn,再求出的表达式,根据式子的特点,利用错位相减法求出此数列的前n项和.
【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d首项为a1,由题意得,
,即,
解得a1=1,d=2,
∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得=3n,∴=n3n,
∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,①
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1,②
①﹣②得,﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1
=﹣n×3n+1,
∴Sn=.
20. (本小题满分12分)
双胞胎姐弟玩数字游戏,先由姐姐任想一个数字记为,再由弟弟猜姐姐刚才想的数字,把弟弟想的数字记为,且
(1)求姐弟两人想的数字之差为3的概率;
(2)若姐弟两人想的数字相同或相差1,则称“双胞胎姐弟有心灵感应”,求“双胞胎姐弟有心灵感应”的概率.
参考答案:
解:(1)所有基本事件为:
(1,1),(2,2),(2,3),(4,4),(5,5),(6,6)
(1,2),(2,1),(1,3),(3,1