2022年黑龙江省哈尔滨市第二中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知空间直角坐标系中有一点,点是平面内的直线
上的动点,则两点的最短距离是( )
A B C 3 D
参考答案:
B
INPUT x
IF x<0 THEN
y=x+1
ELSE
IF x>5 THEN
y=3*x
ELSE
y=2*x-1
END IF
END IF
PRINT y
END
(第8题)
2. 在△AOB中,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,△AOC为钝角三角形的概率是( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
参考答案:
B
3. 设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同选择方法共有( )种
A.50 B.49 C.48 D.47
参考答案:
B
略
4. 直线过点,与圆有两个交点,斜率的取值范围( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 将两个数a=8,b=17交换,使a=17,b=8,下面语句正确一组是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=x(1﹣x),则当x<0时f(x)的解析式是f(x)=( )
A.﹣x(x﹣1) B.﹣x(x+1) C.x(x﹣1) D.x(x+1)
参考答案:
D
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】利用奇函数的性质即可得出.
【解答】解:当x<0时,﹣x>0,
∵当x>0时f(x)=x(1﹣x),
∴f(﹣x)=﹣x(1+x),
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=﹣f(﹣x)=x(1+x),
故选:D.
7. 已知函数,则 ( )
A. B. 0 C. D.
参考答案:
A
略
8. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
A
9. 已知正四棱柱中,, 为的中点,则点到平面的距离为( ▲ )
A.1 B. C. D.2
参考答案:
A
略
10. 已知A,B,C为不共线的三点,则“”是“△ABC是钝角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 简易逻辑.
分析: 从两个方向判断:一个是看能否得到△ABC为钝角三角形,另一个看△ABC为钝角三角形能否得到,这样即可判断出“”是“△ABC是钝角三角形”的什么条件.
解答: 解:如图,
(1)若,则cos>0;
∴∠A>90°,即△ABC是钝角三角形;
(2)若△ABC为钝角三角形,则∠A不一定为钝角;
∴不一定得到;
∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.
故选A.
点评: 考查数量积的计算公式,向量夹角的概念及范围,以及钝角三角形的概念,充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目,若按性别进行分层抽样,则不同的抽取方法数为 .
参考答案:
112
由分层抽样可得,应从8名女生中抽取2人,从4名男生中抽取1人,
所以不同的抽取方法共有种.
12. 一个三角形三边是连续的三个自然数,且最大角是最小角的2倍,则这个三角形的周长等于 .
参考答案:
15
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】设三角形三边是连续的三个自然n﹣1,n,n+1,三个角分别为α,π﹣3α,2α,由正弦定理求得cosα=,再由余弦定理可得 (n﹣1)2=(n+1)2+n2﹣2(n+1)n?,求得n=5,从而得出结论.
【解答】解:设三边长分别为n﹣1,n,n+1,对应的角为A,B,C,
由题意知C=2A,
由正弦定理得=
即有cosA=,
又cosA==
所以=,
化简为n2﹣5n=0,解得n=5,
所以三边分别为4,5,6,其周长=4+5+6=15.
故答案为:15.
13. 已知x,y满足,则z=2x﹣y的最小值为 .
参考答案:
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:作出不等式对应的平面区域如图:
由z=2x﹣y,得y=2x﹣z
平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过的交点时,可得交点坐标(1,)
直线y=2x﹣z的截距最小,
由图可知,zmin=2×1﹣=﹣.
故答案为:﹣.
14. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列命题:
①,则;②则;
③,则;④,则.
其中正确的命题的个数是___________.
参考答案:
略
15. 函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是________________.
参考答案:
(2,+∞)
16. 圆与直线 相切,则的值是 .
参考答案:
17. 下列各数 、 、 、 中最小的数是___
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点。
(Ⅰ)证明AD⊥D1F;
(Ⅱ)求AE与D1F所成的角.
参考答案:
(2)
略
19. (本小题满分12分)
已知均为实数,且,
求证:中至少有一个大于
参考答案:
20. 已知椭圆的焦点分别为、,长轴长为6,设直线 交椭圆于A、B两点。(Ⅰ)求线段AB的中点坐标;(Ⅱ)求的面积。
参考答案:
解:①设椭圆C的方程为,由题意,于是,所以椭圆C的方程为。由,得(6分),由于该二次方程的,所以点A、B不同。设,则,故线段AB的中点坐标为。
②设点O到直线的距离为,则,又,所以,
所以
21. 已知集合A={x|},B={x|(x+a)(x﹣a﹣2)<0}.
(1)当a=0时,求A∪B;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用;并集及其运算.
【分析】(1)化简集合A,B,即可求A∪B;
(2)若A?B,所以(x+a)(x﹣a﹣2)<0对x∈(﹣1,1)恒成立,即可求实数a的取值范围.
【解答】解:对于集合A,,所以﹣1<x<1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
(1)由a=0,对于集合B,x(x﹣2)<0,所以0<x<2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
则A∪B={x|﹣1<x<2};﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分
(2)由A?B,所以(x+a)(x﹣a﹣2)<0对x∈(﹣1,1)恒成立,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分
设f(x)=(x+a)(x﹣a﹣2),因函数为二次函数,图象开口向上,且与x有交点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分
所以
解得a≤﹣3或a≥1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分
22. (本小题满分12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行时间应为多少小时?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;
参考答案:
(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里,则
, 故t=1/3时,S min =,
答:希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇的航行时间为1/3小时
(2)设小艇与轮船在B处相遇
由题意可知,(vt)2 =202 +(30 t)2-2·20·30t·cos(90°-30°),
化简得:
由于0<t≤1/2,即1/t ≥2
所以当=2时,取得最小值,
即小艇航行速度的最小值为海里/小时.