上海吴泾中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在直角坐标系中,直线的斜率是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 已知
若
20070324
,那么自然数n的值为
A、3 B、4 C、5 D、6
参考答案:
B
3. 数列1,-3,5,-7,9,……的一个通项公式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
4. 已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,可得: =1,解得k即可判断出结论.
【解答】解:由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,可得: =1,解得k=.
∴p是q的充分不必要条件.
故选:A.
5. “”是“成等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
6. 已知f(x)=x2+2x?f′(1),则 f′(0)等于( )
A.﹣2 B.2 C.1 D.﹣4
参考答案:
D
【考点】导数的运算.
【分析】首先对f(x)求导,将f′(1)看成常数,再将1代入,求出f′(1)的值,化简f′(x),最后将x=0代入即可.
【解答】解:因为f′(x)=2x+2f′(1),
令x=1,可得
f′(1)=2+2f′(1),
∴f′(1)=﹣2,
∴f′(x)=2x+2f′(1)=2x﹣4,
当x=0,f′(0)=﹣4.
故选D.
7. 矩形两边长分别为a、b,且,则矩形面积的最大值是( )
A. 4 B. C. D. 2
参考答案:
B
依题意可得,则当且仅当时取等号。所以,即矩形面积的最大值为,故选B
8. 已知双曲线 ( , )的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.(1,2) C. [2,+∞) D. (2,+∞)
参考答案:
C
已知双曲线双曲线 ( , )的右焦点为 ,若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,
,离心率
,故选C
【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.
9. 如图,E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,,,,则异面直线AB与PC所成的角为( )
A.30° B.120° C.60° D.45°
参考答案:
C
10. 如果执行如图的程序框图,若输入n=6,m=4,那么输出的p等于( )
A.720 B.360 C.240 D.120
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】执行程序框图,写出每次循环得到的k,ρ的值,当有k=4,ρ=360时不满足条件k<m,输出p的值为360.
【解答】解:执行程序框图,有
n=6,m=4
k=1,ρ=1
第一次执行循环体,ρ=3
满足条件k<m,第2次执行循环体,有k=2,ρ=12
满足条件k<m,第3次执行循环体,有k=3,ρ=60
满足条件k<m,第4次执行循环体,有k=4,ρ=360
不满足条件k<m,输出p的值为360.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 任取x,y∈[0,3],则x+y>4的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】该题涉及两个变量,故是与面积有关的几何概型,分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积,最后利用概率公式解之即可.
【解答】解:由题意可得,区域为边长为3的正方形,面积为9,
满足x+y>4的区域的面积为=2,
由几何概型公式可得x+y>4概率为,
故答案为:.
12. 已知为等差数列,,,为其前n项和,则使达到最大值的n等于 .
参考答案:
6
13. 已知数列满足:,且,则= .
参考答案:
14. 函数的定义域为A,若时总有为单函数.例如,函数=2x+1()是单函数.下列命题:
函数=(xR)是单函数;
若为单函数,
若f:AB为单函数,则对于任意bB,它至多有一个原象;
函数f(x)在某区间上具有单调性,则f(x)一定是单函数.
其中的真命题是_______.(写出所有真命题的编号)
参考答案:
②③
15. 已知函数f(x)=x2﹣cosx,x∈[﹣,],则满足f(x0)>f()的x0的取值范围为 .
参考答案:
[﹣,﹣)∪(,]
先充分考虑函数f(x)=x2﹣cosx,x∈的性质,为偶函数,其图象关于y轴对称,故考虑函数区间上的情形,利用导数可得函数在单调递增,再结合f(x0)>f()和对称性即可得x0的取值范围.
16. .用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色,
(每点染一色,有的颜色也可以不用)使每条线段上的两个
顶点皆不同色,则不同的染色方法有 种.
参考答案:
1020
略
17. 在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3,则输入x的取值范围是
参考答案:
(4,10]
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:设输入x=a,
第一次执行循环体后,x=3a﹣2,i=1,不满足退出循环的条件;
第二次执行循环体后,x=9a﹣8,i=2,不满足退出循环的条件;
第三次执行循环体后,x=27a﹣26,i=3,满足退出循环的条件;
故9a﹣8≤82,且27a﹣26>82,
解得:a∈(4,10],
故答案为:(4,10].
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.
参考答案:
解: (Ⅰ)的定义域为
∵
∴令,解得:
∴的单增区间是:
(Ⅱ)∵,
∴.
即,
令, ∵,且,
由.
∴在区间内单调递增,在区间内单调递减.
∵,,,
又,
故在区间内恰有两个相异实根.
即.
综上所述,的取值范围是.
略
19. 正数满足,求的最小值.
参考答案:
1
略
20. 某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元。该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。(1)求;(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?
参考答案:
解:(1)由题意知,每年的费用是以2为首项,2为公差的等差数列,求得: (2)设纯收入与年数n的关系为f(n),则: 由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得 因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 (3)年平均收入为=20- 当且仅当n=5时,年平均收益最大.所以这种设备使用5年,该公司的年平均获利最大。
21. 如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,直线l与x轴交于点E,与椭圆C交于A、B两点.当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时,弦AB的长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在点E,使得为定值?若存在,请指出点E的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】(1)由离心率公式和a,b,c的关系,由弦长为.解方程可得椭圆方程;
(2)假设存在点E,使得为定值,设E(x0,0),讨论直线AB与x轴重合和垂直,以及斜率存在,设出直线方程,联立椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,计算即可得到定值.
【解答】解:(1)由,设a=3k(k>0),
则,b2=3k2,
所以椭圆C的方程为,
因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点,即,
代入椭圆方程,解得y=±k,于是,即,
所以椭圆C的方程为;
(2)假设存在点E,使得为定值,设E(x0,0),
当直线AB与x轴重合时,有,
当直线AB与x轴垂直时,,
由,解得,,
所以若存在点E,此时,为定值2.
根据对称性,只需考虑直线AB过点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
又设直线AB的方程为,与椭圆C联立方程组,
化简得,所以,,
又,
所以,
将上述关系代入,化简可得.
综上所述,存在点,使得为定值2.
22. 如图:是=的导函数的简图,它与轴的交点是(1,0)和(3,0)
(1)求的极小值点和单调减区间
(2)求实数的值.
参考答案:
(1)是极小值点-----3分 是单调减区间-----6分
(2)由图知 ,
-------12分
略