2022年福建省福州市私立云山学校高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. O为△ABC所在平面上动点,点P满足, ,则射线AP过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
参考答案:
B
【分析】
将变形为,因为和的模长都是1,根据平行四边形法则可得,过三角形的内心.
【详解】
因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B
【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质,属于中档题.
2. 已知集合A={2,4,5},B={1,3,5},则A∪B=( )
A. B.{5} C.{1,3} D.{1,2,3,4,5}
参考答案:
D
略
3. 设a,bR,集合,则b-a= ( ▲ )
A.1 B. C.2 D.
参考答案:
A
略
4. 若cos α=﹣,α是第三象限的角,则sin(α+)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】GQ:两角和与差的正弦函数;GG:同角三角函数间的基本关系.
【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值,进而利用两角和与差的正弦函数求得答案.
【解答】解:∵α是第三象限的角
∴sinα=﹣=﹣,所以sin(α+)=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣.
故选A
5. 函数y=x2(0≤x≤3)的最大值、最小值分别是( )
A.9和﹣1 B.9和1 C.9和0 D.1和0
参考答案:
C
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质求出函数的单调性,从而求出函数的最大值和最小值即可.
【解答】解:函数y=x2在[0,3]递增,
f(x)的最大值是9最小值是0,
故选:C.
6. 已知函数g(x)与f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象关于直线y=x对称,则g(2)+g()的值为( )
A.4 B.2 C.1 D.0
参考答案:
D
【考点】反函数;函数的值.
【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】由已知可得函数g(x)与f(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数,即g(x)=logax(a>0,a≠1),结合对数的运算性质,可得答案.
【解答】解:若函数g(x)与f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象关于直线y=x对称,
故函数g(x)与f(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数,
故g(x)=logax(a>0,a≠1),
故g(2)+g()=loga2+=loga2﹣loga2=0,
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是反函数,函数求值,对数的运算性质,难度中档.
7. 当a>1时,在同一坐标系中,函数的图象是( )
参考答案:
B
略
8. 已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 在中,若,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
10. 下列四类函数中,有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是( )
A.幂函数 B.对数函数 C.余弦函数 D.指数函数
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. _________.
参考答案:
23
12. 函数,的反函数为__________.
参考答案:
【分析】
将函数变形为的形式,然后得到反函数,注意定义域.
【详解】因为,所以,则反函数为:且.
【点睛】本题考查反三角函数的知识,难度较易.给定定义域的时候,要注意函数定义域.
13. 已知,则
参考答案:
略
14. 函数的值域为 。
参考答案:
略
15. 已知集合M={(x,y)|x+y=3},N={(x,y)|x﹣y=5},则M∩N等于 .
参考答案:
{(4,-1)}
由题意可得:,解得:
∴M∩N={(4,-1)}
16. 化简=_____________.
参考答案:
1
略
17. 设f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,b∈R,ab≠0.若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,则以下结论正确的是 (写出所有正确结论的编号).
①;
②|≥|;
③f(x)的单调递增区间是(kπ+,kπ+)(k∈Z);
④f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
参考答案:
①②④
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】利用辅助角公式化简f(x),根据f(x)≤|f()|可得,a,b的值.然后对个结论依次判断即可.
【解答】解:由f(x)=asin 2x+bcos 2x=sin(2x+φ).
∵f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立
∴当x=时,函数取得最大值,即2×+φ=,解得:φ=.
故得f(x)=sin(2x+).
则f()=sin(2×+)=0,∴①对.
②f()=sin(2×+)=
f()=sin(2×+)=,∴|≥|,∴②对.
由2x+,(k∈Z)
解得: +kπ≤x≤+kπ,(k∈Z)
∴f(x)的单调递增区间是(kπ,kπ+)(k∈Z);∴③不对
f(x)的对称轴2x+=+kπ,(k∈Z);∴③
解得:x=kπ+,不是偶函数,
当x=0时,f(0)=,不关于(0,0)对称,
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
故答案为①②④.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分8分) 已知,函数
(1)求函数的最小值和最小正周期;
(2)设的内角的对边分别为,且,,若,求的面积.
参考答案:
(1),的最小值为,最小正周期为
……………3分
(2),则.
∵,∴,因此=,∴.……………5分
∵及正弦定理,得.①
由余弦定理,得,且,
∴. ②
由①②联立,得,. ……………7分
……………8分
19. 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且点C在对角线MN上,已知|AB|=3米,|AD|=2米.当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
参考答案:
解:设AN的长为x米(x>2),
∵ ,∴|AM|=…………………3′
∴ =|AN|?|AM|=, …………………5′
…………8′
10′
当且仅当,即x=4时,S=取得最小值.
即取得最小值24(平方米) 12′
20. 已知向量向量与向量夹角为,且.
(1)求向量;
(2)若向量与向量=(1,0)的夹角求|2+|的值.
参考答案:
解析:(1)设,有 ①
由夹角为,有.
∴② 由①②解得
∴即或
(2)由垂直知
∴
21. (本小题满分10分)如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,
D是OB延长线上一点,且BD=OB,直线MD与圆O相交于点M、T
(不与A、B重合),DN与圆O相切于点N,连结MC,MB,OT.
(I)求证:;
(II) 若,试求的大小.
参考答案:
(1)证明:因MD与圆O相交于点T,由切割线定
理,,得
,设半径OB=,因BD=OB,且BC=OC=,
则,,
所以------------------5分
(2)由(1)可知,,且,
故∽,所以;
根据圆周角定理得,,则 --------10分
22. (本题满分10分)
1)求经过直线x-y=1与2x+y=2的交点,且平行于直线x+2y-3=0的直线方程。
2)在直线x-y+4=0 上求一点P, 使它到点 M(-2,-4)、N(4,6)的距离相等。
参考答案:
1)解:联立x-y=1与2x+y=2得解得
直线x-y=1与2x+y=2的交点是 ……2分
将代入x+2y+m=0求得m=-1 ……3分
所求直线方程为x+2y-1=0
(法二)易知所求直线的斜率,由点斜式得
化简得x+2y-1=0 ……5分
2)解:由直线x-y+4=0,得y=x+4,点P在该直线上.
∴可设P点的坐标为(a,a+4). ……2分
∴ ……4
解得a=-,从而a+4=-+4=. ∴P ……5分