河北省保定市东旺乡南杏树中学2022-2023学年高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，在区间为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
2. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
3. 函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于两点，则（ ）
A.4 B.10 C.6 D. 8
参考答案：
D
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），则S15+S22﹣S31的值是( )
A．﹣76 B．76 C．46 D．13
参考答案：
A
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知得S15=﹣4×7+4×15﹣3=29，S22=﹣4×11=﹣44，S31=﹣4×15+4×31﹣3=61，由此能求出S15+S22﹣S31的值．
解答： 解：∵Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3），
∴S15=﹣4×7+4×15﹣3=29，
S22=﹣4×11=﹣44，
S31=﹣4×15+4×31﹣3=61，
∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76．
故选：A．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意数列的前n项和公式的合理运用．
5. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
6. 设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
7. 定义在R上的函数若函数有4个不零点，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
略
8. 已知i是虚数单位，，，则等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D. 4
参考答案：
A
【分析】
根据复数的除法化简，再根据复数相等的充要条件求出，即得答案.
【详解】，
.
故选：.
【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.
9. 若，则下列不等关系中不能成立的是（）．
A． B． C． D．
参考答案：
A
解：不枋设，，
对于选项，不大于．
故选：．
10. 已知全集 U={1,2,3,4,5}，A={1,5}，BCUA,则集合B 的个数是（ ）
A．5 B. 6 C. 7 D. 8
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某水池装有编号为1，2，3，…，8的8个进出口水管，有的只进水，有的只出水，已知所开的水管编号与灌满水池的时间如下表：
水管编号
1，2
2，3
3，4
4，5
5，6
6，7
7，8
8，1
时间（小时）
3
6
9
18
12
12
8
24
若8个水管一齐开，灌满水池需 小时。
参考答案：
2
12. 不等式的解集为
参考答案：
[－3,2]
13.
在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等数列，那么三角方程的解集是 .
参考答案：
14. 直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c成等差数列时，直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S= ．
参考答案：
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，可得2×（﹣）=﹣1，化为b=2a．当a，b，c成等差数列时，2b=a+c．由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y．联立，解得x=．即可直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S．
【解答】解：直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴2×（﹣）=﹣1，化为b=2a．
当a，b，c成等差数列时，2b=a+c．
∴b=2a，c=3a．
由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y=﹣．
联立，解得x=．
直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=×==．
故答案为：．
15. 已知 ， 是不共线向量，且 , 若 , 为一组基底,则 = 。
参考答案：
解析：注意到 、 不共线，故由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数 ，使
又由已知得
而 （3） ∴再根据上述定理由（2）（3）得
于是由（1）得
16. 函数的定义域是 __________________________.
参考答案：
17. （4分）若直线mx+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则m= _________ ．
参考答案：
-6
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，D是棱AA1的中点
（Ｉ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
参考答案：
(Ｉ)证明：由题知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C， 所以BC⊥平面AC C1A1，又DC1平面AC C1A1，所以DC1⊥BC.
由题知∠A1 DC1=∠A DC=45o,所以∠CDC1=90 o，即DC1⊥DC，
又DC∩BC=C，所以DC1⊥平面BDC，又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
（Ⅱ）解：设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得
V1 =
又三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V=1，所以（V-V1）:V1=1:1,
故平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1:1.
略
19. （10分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第一组
8
0．16
第二组
①
0．24
第三组
15
②
第四组
10
0．20
第五组
5
0．10
合 计
50
1．00
（１）写出表中①②位置的数据；
（２）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（３）在（２）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．
参考答案：
20. 已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．
（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；
（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】相交弦所在直线的方程；圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】直线与圆．
【分析】（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；
（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；
（3）根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论．
【解答】解：（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，
所以，圆心O到直线l：3x﹣4y﹣15=0的距离d：，由勾股定理可知，
圆被直线l截得的弦长为．…（4分）
（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x﹣4my﹣4m2﹣25=0，
因为该公共弦平行于直线3x﹣4y﹣15=0，
则≠，
解得：m=…（7分）
经检验m=符合题意，故所求m=； …（8分）
（3）假设这样实数m存在．
设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上． …（10分）
设以弦AB为直径的圆方程为：x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ（3x﹣4y﹣15）=0，
则
消去λ得：100m2﹣144m+216=0，25m2﹣36m+54=0
因为△=362﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0
所以方程25m2﹣36m+54=0无实数根，
所以，假设不成立，即这样的圆不存在． …（14分）
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．
21. （本题14分）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形, ，米，米。
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、、上取点、、，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好。设（米），用表示面积，并求出的最大值；
（2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在、、上取点、、，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好。设，用表示的周长，并求出的最小值。
参考答案：
（1）直角三角形, ，米，米,
， ∠CFE=30°，
设EF=x,，CE=，BE=50-，
EF⊥ED, EF⊥AB, DE=，
，
当x=50时，;
(2)设边长为a, ,,CE=acos,EB=50- acos,∠EDB=,
在三角形DEB中，，
的最小值为,的最小值是。
22. 已知函数 ．
(I)求 的最小正周期及对称中心坐标；
(Ⅱ)求 的递减区间．
参考答案：
解：（I） ，
则的最小正周期，
由，得
即，
的对称中心坐标为.;
(Ⅱ)由，
得，
的递减区间为.