2022年江西省九江市晨光中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,正的中心位于点G,A,动点P从A点出发沿的边界按逆时针方向运动,设旋转的角度,向量在方向的投影为y(O为坐标原点),则y关于x的函数的图像是
参考答案:
C
2. 集合,,那么“”是“”的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
∵集合,,
∴,∴“” 是“”的充分而不必要条件.故选.
3. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在,满足,,则数列{an}的公比为
A.2 B.3 C. D.
参考答案:
B
4. 设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的取值范围是( )
A. B. C. ( 1 , 16 ) D.
参考答案:
B
5. 正项等比数列{}的公比q≠1,且,,成等差数列,则的值为( )
A. B. C. D.或
参考答案:
B
略
6. 设方程3x=|lg(﹣x)|的两个根为x1,x2,则( )
A.x1x2<0 B.x1x2=0 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1
参考答案:
D
【考点】函数的零点.
【分析】分别作出函数y=3x和y=|lg(﹣x)|的图象,由图象先确定两个根的取值范围,然后根据指数函数和对数函数的性质进行判断.
【解答】解:分别作出函数y=3x和y=|lg(﹣x)|的图象如图:
由图象可知程3x=|lg(﹣x)|的两个根为x1,x2,不妨设x1<x2,
则两根满足﹣2<x1<﹣1,﹣1<x2<0,
∴3x1=|lg(﹣x1)|=lg(﹣x1),①
3x2=|lg(﹣x2)|=﹣lg(﹣x2),②
且3x1<3x2,
①﹣②得
3x1﹣3x2=lg(﹣x1)+lg(﹣x2)=lg(x1x2)
∵3x1<3x2,
∴lg(x1x2)=3x1﹣3x2<0,
即0<x1x2<1.
故选:D.
7. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若,该双曲线的离心率为e,则( )
A. 2 B. C. D.
参考答案:
D
以线段 为直径的圆方程为 ,双曲线经过第一象限的渐近线方程为 ,联立方程 ,求得 ,因为 ,所以有 ,又 ,平方化简得 ,由求根公式有 (负值舍去).选D.
点睛: 本题主要考查双曲线的离心率, 计算量比较大, 属于中档题. 本题思路: 由已知条件求出圆的方程和直线方程,联立求出在第一象限的交点M坐标,由两点间距离公式,求出离心率的平方. 涉及的公式有双曲线中,两点间距离公式, 求根公式等.
8. 函数的一部分图象如图所示,其中,,,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 四棱锥的底面为正方形,侧面为等边三角形,且侧面底面,点在底面正方形内(含边界)运动,且满足,则点在正方形内的轨迹一定是
参考答案:
B
10. 高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】条件概率 K2
【答案解析】A 解析:4人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有:
(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丙丁甲乙)、
(丁甲乙丙)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(乙甲丁丙)、(丙乙甲丁)、(丙丁乙甲)、
(丁乙甲丙)、(丁丙乙甲),共计12种,
其中甲丙相邻的有:(丙甲乙丁)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(丁乙甲丙)、有4种,
∴甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为:,
故选:A
【思路点拨】用列举法列出4人排成一排,其中甲、乙相邻的情况,找出甲丙相邻,由此能求出甲乙相邻,则甲丙相邻的概率。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将全体正奇数排成一个三角形数阵:
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律,第行(,)从左向右的第4个数为 .
参考答案:
略
12. .如果,且是第四象限的角,那么________.
参考答案:
13. 在单位圆中,面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ .
参考答案:
【知识点】弧度制.C1
【答案解析】2 解析:解:由扇形的面积公式可知,再由,所以所对的圆心角弧度数为2.
【思路点拨】根据已知条件中的面积可求出弧长,再利用弧度制的概念可求出弧度数.
14. 如图,A,B两点都在以PC为直径的球O的表面上,,,,若球O的表面积为24π,则异面直线PC与AB所成角的余弦值为_____.
参考答案:
【分析】
推导出,,,,以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,由向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
两点都在以为直径的球的表面上
,解得:
且
又 ,
以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系
, 平面
又 平面
则,,,
,
设异面直线与所成角为
则:
异面直线与所成角的余弦值为
本题正确结果:
15. 已知函数,则方程f(x)=﹣3的解为 .
参考答案:
1或﹣2
【考点】函数的零点.
【分析】由函数的解析式可得方程f(x)=﹣3可化为,或.分别求出这两个混合组的解,即为所求.
【解答】解:函数,则由方程f(x)=﹣3可得,,或.
解得 x=1,或 x=﹣2,
故答案为 1或﹣2.
16. 设a为常数,函数f(x)=x2﹣4x+3,若f(x+a)在[0,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 [2,+∞) .
参考答案:
考点:
函数单调性的性质.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
写出f(x+a)的表达式,根据二次函数图象可得其增区间,由题意知[0,+∞)为f(x+a)的增区间的子集,由此得不等式,解出即可.
解答:
解:因为f(x)=x2﹣4x+3,
所以f(x+a)=(x+a)2﹣4(x+a)+3=x2+(2a﹣4)x+a2﹣4a+3,
则f(x+a)的增区间为[2﹣a,+∞),
又f(x+a)在[0,+∞)上是增函数,
所以2﹣a≤0,解得a≥2,
故答案为:[2,+∞).
点评:
本题考查二次函数的单调性,属中档题,若函数f(x)在区间(a,b)上单调,则(a,b)为f(x)单调区间的子集.
17. 已知双曲线的右焦点为,过点向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为,交另一条渐近线于,若,则双曲线的渐近线方程为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)如图,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA,F,G,H分别为PB,EB,PC的中点。
(1)求证:FG∥平面PED;
(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.
参考答案:
(1)证明:因为F,G分别为PB,EB的中点,所以FG∥PE.
又平面,PE平面PED,
所以FG∥平面PED
(2)因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD
因为AD,CD在平面ABCD内,所以PD⊥AD,PD⊥CD.
四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD。
以D为原点,分别以直线DA,DC,DP为轴, 轴,轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,设EA=1。 因为 AD=PD=2EA,
,,,,,,
,.
因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,
,,,,
(解法一)设为平面的一个法向量,则,
即,令,得.
设为平面的一个法向量,则,
即,令,得.
所以==.
所以平面与平面所成锐二面角的大小为(或)
(解法二) ,,
是平面一个法向量.
,,
是平面平面一个法向量.
平面与平面所成锐二面角的大小为(或).
(解法三) 延长到使得连
,EA∥,
四边形是平行四边形,PQ∥AD
四边形是正方形,所以BC∥AD,PQ∥BC.
因为F,H分别为,的中点,所以FH∥BC,FH∥PQ.
因为FH平面PED,平面, ∥平面PED.
平面平面FGH∥平面
故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.
平面
平面
平面是二面角的平面角.
平面与平面所成锐二面角的大小为(或).
本题考查线面平行,空间角问题。
19. (本小题满分12分)
已知函数的定义域为集合,函数的值域为集合
(Ⅰ)求集合,;
(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)集合:, 解得:或
集合B:图象单调递增,,则 ….8分
(2),由,结合数轴,或,
解得或. ….13分
20. (本小题满分12分)
已知数列是等差数列,是等比数列,且,,
.
(Ⅰ)求数列和的通项公式
(Ⅱ)数列满足,求数列的前项和.
参考答案:
(Ⅰ)设的公差为,的公比为,由,得,
从而,因此,又,
, ,故 ………………………6分
(Ⅱ)
令
则……………9分
两式相减得
,故 ………………………12分
21. 已知a≥2,函数F(x)=min{x3﹣x,a(x+1)},其中min{p,q}= .
(1)若a=2,求F(x)的单调递减区间;
(2)求函数F(x)在[﹣1,1]上的最大值.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)令f(x)=x3﹣x,g(x)=a(x+1)=2(x+1),画出函数f(x),g(x)的图象,结合图象求出F(x)的递减区间即可;
(2)根据a的范围,在[﹣1,1]上,F(x)=f(x)=x3﹣x,求出F(x)的最大值即可.
【解答】解:(1)令f(x)=x3﹣x,g(x)=a(x+1)=2(x+1),
令f(x)=g(x),解得:x=﹣1或x=2,
画出函数f(x),g(x)的图象,如图示:
,
显然x≤1时,f(x)≤g(x),x>1时,f(x)>g(x),
故F(x)=,
故F(x)在在(﹣,)递减;
(2)由(1)得:a≥2时,F(x)=,
而>2,
故在[﹣1,1]上,F(x)=f(x)=x3﹣x,
而f(x)在[﹣1,﹣)递增,在(﹣,)递减,在(,1]递增,
故F(x)的最大值是F(1)=0.
22. 矩阵与变换
若点A(-2,2)在矩阵对应变换的作用下得到的点为B(2,2),求矩阵.
参考答案:
解: ----5分 -----10分
略