2022年湖北省黄冈市团风中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 比较三个三角函数值的大小,正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
2. 已知函数,则=( )
A.4 B. C.-4 D.
参考答案:
B
由题,选B.
3. 复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,z1﹣z2=,则z1?z2=( )
A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i
参考答案:
A
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】z1﹣z2==﹣2i,由|z1|=|z2|=1,设z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,可得cosα=cosβ,sinα﹣sinβ=﹣2,即可得出.
【解答】解:z1﹣z2====﹣2i,
由|z1|=|z2|=1,设z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,
∴cosα=cosβ,sinα﹣sinβ=﹣2,
∴cosα=cosβ=0,sinα=﹣1,sinβ=1,
∴z1=﹣i,z2=i,
则z1?z2=﹣i?i=1.
故选:A.
4. 如图给出的是计算的值的程序框图,
其中判断框内应填入的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 已知等差数列通项公式为,在在,…,在,…,构成一个新的数列,若,则=( )
(A)45 (B)50 (C)55 (D)60
参考答案:
C
6. 在公差不为零的等差数列中,依次成等比数列,前7项和为35,则数列的通项
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知函数,若,其中,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
首先由对数函数的性质求出的范围在(0,1),再用基本不等式求解即可.
【详解】根据题意不防设,则由,
得,即,
所以.因为,所以.
所以答案为C
【点睛】本题考查对数函数的图像与性质、基本不等式,综合性比较强.
8. 某篮球运动员2013年度参加了25场比赛,我从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为( )
A.25 B.24 C.18 D.16
参考答案:
D
9. 已知函数对任意的有,且当时,,则函数
的大致图象为( )
参考答案:
D
试题分析:故函数为奇函数,根据图象,选D.
考点:函数图象与性质.
10. 若直角坐标平面内A、B两点满足:①点A、B都在函数的图象上;②点A、B关于原点对称,则称点 (A,B)是函数的一个“姊妹点对”.点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数,则的“姊妹点”对”有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
C
根据题意可知,“姊妹点对”满足两点:都在函数图象上,且关于坐标原点对称。
可作出函数的图象关于原点对称的图象,看它与函数
交点个数即可。如图所示:
当时,
观察图象可得:它们有个交点。
故答案选
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,,是单位向量,且,则向量,的夹角等于 .
参考答案:
设,的夹角为,因为,所以,即,即,所以,所以,的夹角为或。
12. 在中,依次成等比数列,则B的取值范围是
参考答案:
因为依次成等比数列,所以,即,所以,所以,所以,即B的取值范围是。
13.
已知的展开式中含x的项为第6项,
设=
参考答案:
答案:255
14. 数式中省略号“…”代表无限重复,但该式是一个固定值,可以用如下方法求得:令原式,则,则,取正值得.用类似方法可得________.
参考答案:
4
【分析】
根据类比的方式,设原式,构造方程,解出的值即可.
【详解】令原式,则,解得:
本题正确结果:
【点睛】本题考查类比推理的应用,关键是能够准确理解已知中的式子的形式,属于基础题.
15. 若是纯虚数,则实数的值为_________。
参考答案:
0
略
16. 定义在R上的奇函数,当时,
则函数的所有零点之和为_____.
参考答案:
【分析】
函数F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内y=f(x),y=a的图象交点的横坐标;作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,根据奇函数f(x)在x≥0时的解析式,作出函数的图象,结合图象及其对称性,求出答案.
【详解】∵当x≥0时,
f(x)=
即x∈[0,1)时,f(x)=(x+1)∈(﹣1,0];
x∈[1,3]时,f(x)=x﹣2∈[﹣1,1];
x∈(3,+∞)时,f(x)=4﹣x∈(﹣∞,﹣1);
画出x≥0时f(x)的图象,
再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;
则直线y=a,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)﹣a=0共有五个实根,
最左边两根之和为﹣6,最右边两根之和为6,
∵x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1),
∴f(﹣x)=(﹣x+1),
又f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣(﹣x+1)=(1﹣x)﹣1=log2(1﹣x),
∴中间的一个根满足log2(1﹣x)=a,即1﹣x=2a,
解得x=1﹣2a,
∴所有根的和为1﹣2a.
故答案为:1﹣2a.
【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题,也考查了利用函数零点与方程的应用问题,是综合性题目.
17. 若的内角所对的边满足,且,则的最小值为________ks5u
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分15分)在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且
(1)求角;
(2)若,求面积S的最大值.
参考答案:
19. 一个截面为抛物线形的旧河道(如图1),河口宽米,河深2米,现要将其截面改造为等腰梯形(如图2),要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土.
(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程;
(Ⅱ)试求当截面梯形的下底(较长的底边)长为多少米时,才能使挖出的土最少?
参考答案:
解:(1)如图:以抛物线的顶点为原点,
中垂线为轴建立直角坐标系------1分
则 ------2分
设抛物线的方程为,将点代入得 -------3分
所以抛物线弧AB方程为() ------4分
(2)解法一:
设等腰梯形的腰与抛物线相切于
则过的切线的斜率为
所以切线的方程为:,即
令,得, 令,得,
所以梯形面积 -----10分
当仅当,即时,成立
此时下底边长为 -----12分
答:当梯形的下底边长等于米时,挖出的土最少. -----13分
解法二:设等腰梯形的腰与抛物线相切于
则过的切线的斜率为
所以切线的方程为:,即
运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积:
-----10分
当仅当,即时,成立,此时下底边长为 ---12分
答:当梯形的下底边长等于米时,挖出的土最少. -----------13分
解法三:设等腰梯形上底(较短的边)长为米,则一腰过点,可设此腰所在直线方程为, 联立,得,
令,得,或(舍),
故此腰所在直线方程为,
令,得,
故等腰梯形的面积: ------------10分
当且仅当,即时,有
此时,下底边长 ------------12分
答:当梯形的下底边长等于米时,挖出的土最少. ----------13分
略
20. 在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且sin2A﹣cosA=0.
(1)求角A的大小;
(2)若b=,sinB=sinC,求a.
参考答案:
【考点】正弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】(1)已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简,整理求出sinA的值,即可确定出A的度数;
(2)已知等式利用正弦定理化简,把b的值代入求出c的值,利用余弦定理列出关系,将b,c,cosA的值代入即可求出a的值.
【解答】解:(1)由sin2A﹣cosA=0,得2sinAcosA﹣cosA=0,
即cosA(2sinA﹣1)=0得cosA=0或sinA=,
∵△ABC为锐角三角形,
∴sinA=,
则A=;
(2)把sinB=sinC,由正弦定理得b=c,
∵b=,∴c=1,
由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=3+1﹣2××1×=1,
解得:a=1.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.
21. 已知向量=(cosθ,sinθ),=(2,﹣1).
(1)若⊥,求的值;
(2)若|﹣|=2,,求的值.
参考答案:
考点:平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用.
专题:平面向量及应用.
分析:(1)由⊥,可得=2cosθ﹣sinθ=0,求得tanθ=2,从而求得= 的值.
(2)把已知等式平方求得 =1,即2cosθ﹣sinθ=1,平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1,求得 tanθ=.再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ 和sinθ 的值,从而求得 =sinθ+cosθ的值.
解答: 解:(1)若⊥,
则=2cosθ﹣sinθ=0,tanθ==2,
∴===.
(2)∵||=1,||=,
若|﹣|=2,,
则有 ﹣2+=4,即 1﹣2+5=4,解得 =1,
即 2cosθ﹣sinθ=1,平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1,
化简可得 3cos2θ﹣4sinθcosθ=0,
即 tanθ=.
再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1,
求得cosθ=,sinθ=,
∴=sinθ+cosθ=.
点评:本题主要考查两个向量的数量积的运算,同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,属于中档题.
22. 已知
(Ⅰ)若a=1,求;
(Ⅱ)若,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)当a=1时,
∴ ……………………………………6分
(Ⅱ)
且
实数a的取值范围是(1,3) ……………………………………12分