江苏省扬州市吴堡中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数在复平面上对应的点的坐标是
A. B. C. D.
参考答案:
D
因为复数,因此在复平面上对应的点的坐标是,选D
2. 已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=( )
A.0 B.﹣100 C.100 D.10200
参考答案:
B
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;数列的求和;数列递推式.
【分析】先求出分段函数f(n)的解析式,进一步给出数列的通项公式,再使用分组求和法,求解.
【解答】解:∵,
由an=f(n)+f(n+1)
=(﹣1)n?n2+(﹣1)n+1?(n+1)2
=(﹣1)n[n2﹣(n+1)2]
=(﹣1)n+1?(2n+1),
得a1+a2+a3+…+a100=3+(﹣5)+7+(﹣9)+…+199+(﹣201)=50×(﹣2)=﹣100.
故选B
3. 如图所示的程序框图,若执行运算,则在空白的执行框中,应该填入( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
4. 已知向量=(2m+1,3,m﹣1),=(2,m,﹣m),且∥,则实数m的值等于( )
A. B.﹣2 C.0 D.或﹣2
参考答案:
B
【考点】共线向量与共面向量.
【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系,然后解二元一次方程组即可求出m的值.
【解答】解:∵空间平面向量=(2m+1,3,m﹣1),=(2,m,﹣m),且∥,
∴(2m+1,3,m﹣1)=λ (2,m,﹣m)=(2λ,λm,﹣λm),
∴,解得 m=﹣2.
故选:B.
【点评】本题主要考查了平空间向量共线(平行)的坐标表示,以及解二元一次方程组,属于基础题.
5. 已知函数f(x)= 若a,b,c均不相等,且f(a)= f(b)= f(c),则abc的取值范围是( )
A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) ks5u
参考答案:
C
略
6. 若,则定义域为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. (4分)设集合U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则(A∩B)=( )
A.
{2}
B.
{3}
C.
{1,4}
D.
{1,3,4}
参考答案:
D
8. 已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称,记若在区间上是增函数,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
答案:D
解析: 的图象与的图象关于对称
令因为在上单调递增
①当时 单调递增
则满足题意 解得
②当时 单调递减
则满足题意 解得
综合①②可得
【高考考点】求反函数 复合函数单调性
【易错点】:求复合函数单调性中换元后的新变元的取值范围易丢掉
【备考提示】:掌握求复合函数单调区间的基本思路
9. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
10. 已知向量、不共线,,如果,那么
A.且与同向 B.且与反向
C.且与同向 D.且与反向
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率是 .
参考答案:
12. 设m为实数,若?{(x,y)|x2+y2≤25},则m的取值范围是________.
参考答案:
_0≤m≤__
略
13. 计算 .
参考答案:
略
14. 将25个数排成如图所示的正方形:
已知第一行a11,a12,a13,a14,a15成等差数列,而每一列a1j,a2j,a3j,a4j,a5j(1≤j≤5)都成等比数列,且五个公比全相等.若a24=4,a41=-2,a43=10,则a11×a55的值为_____________.
参考答案:
略
15. 已知集合M={},若对于任意,存在,使得成立,则称集合M是“完美对点集”.给出下列四个集合:
①M={}; ②M={};
③M={}; ④M={}.
其中是“完美对点集”的是 ▲ (请写出全部正确命题的序号)
参考答案:
②④
16. 函数的定义域为,则值域为___________.
参考答案:
【分析】
由诱导公式及正弦的二倍角公式化简可得:,结合该函数的定义域即可求得,问题得解.
【详解】由得:
当时,
,,
该函数值域为
故答案为:
【点睛】本题主要考查了诱导公式及正弦的二倍角公式,还考查了三角函数的性质,考查转化能力及计算能力,属于中档题.
17. (5分)已知矩形ABCD的边AB=a,BC=3,PA⊥平面ABCD,若BC边上有且只有一点M,使PM⊥DM,则a的值为 .
参考答案:
1.5
【考点】: 直线与平面垂直的判定.
【分析】: 连结AM,根据条件,要使PM⊥MD,则DM⊥面PAM,即DM⊥AM即可.然后利用圆的性质,只要保证以AB为直径的圆和BC相切即可.
解:∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DM,
若BC边上存在点M,使PM⊥MD,
则DM⊥面PAM,
即DM⊥AM,
∴以AD为直径的圆和BC相交即可.
∵AD=BC=3,
∴圆的半径为3,
要使线段BC和半径为3的圆相切,
则AB=1.5,
即a=1.5,
∴a的值是1.5.
故答案为:1.5.
【点评】: 本题主要考查线面垂直的性质的应用,将线面垂直转化为直线垂直进而利用圆的性质是解决本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=sin(3x+).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数;正弦函数的单调性.
【专题】三角函数的求值.
【分析】(1)令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间.
(2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,可得sin(α+)=cos(α+)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα)2=.再由α是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得cosα﹣sinα 的值.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=sin(3x+),令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈Z,
求得 ﹣≤x≤+,故函数的增区间为,k∈Z.
(2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,
∴sin(α+)=cos(α+)cos2α,即sin(α+)=cos(α+)(cos2α﹣sin2α),
∴sinαcos+cosαsin=(cosαcos﹣sinαsin)(cosα﹣sinα)(cosα+sinα)
即 (sinα+cosα)=?(cosα﹣sinα)2(cosα+sinα),
又∵α是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0,
当sinα+cosα=0时,此时cosα﹣sinα=﹣.
当sinα+cosα≠0时,此时cosα﹣sinα=﹣.
综上所述:cosα﹣sinα=﹣或﹣.
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
19. 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆Γ∶ (a>b>0)的右焦点F和上顶点B.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)如图,过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q,与圆C的交点为P,M为OP的中点, 求的最大值.
参考答案:
略
20. 几何证明选讲.
如图,PA为 的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10,
PB=5.求:
( i) 的半径;
(Ⅱ) 的值.
参考答案:
略
21. 已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点,试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB?若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)设椭圆的标准方程为(a>b>0),焦距为2c.由抛物线方程得焦点,可得c.又短轴长为4,可得2b=4,解得b.再利用a2=b2+c2即可得到a.
(2)假设在x轴上存在一个定点P(t,0)(t≠2)使得PM始终平分∠APB.设直线l的方程为my=x﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2).与椭圆的方程联立化为(9+5m2)y2+20my﹣25=0,得到根与系数的关系,由于PM平分∠APB,利用角平分线的性质可得,经过化简求出t的值即可.
【解答】解:(1)设椭圆的标准方程为(a>b>0),焦距为2c.
由抛物线方程得焦点,∴c=.
又短轴长为4,∴2b=4,解得b=2.
∴a2=b2+c2=9.
∴椭圆C的方程为.
(2)假设在x轴上存在一个定点P(t,0)(t≠2)使得PM始终平分∠APB.
设直线l的方程为my=x﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立,化为(9+4m2)y2+16my﹣20=0,
则,.(*)
∵PM平分∠APB,∴,
∴,化为,
把x1=my1+2,x2=my2+2代入上式得(2﹣t)(y1﹣y2)[2my1y2+(2﹣t)(y1+y2)]=0,
∵2﹣t≠0,y1﹣y2≠0,∴2my1y2+(2﹣t)(y1+y2)=0.
把(*)代入上式得,
化为m(9﹣2t)=0,
由于对于任意实数上式都成立,∴t=.
因此存在点P满足PM始终平分∠APB.
22. (满分14分)
已知函数(、、为正常数)最小正周期为,当时,
取最小值-4.
⑴求、的值;
⑵若函数在区间上存在零点,求的最小值.
参考答案:
⑴易得w=4,………………………2分
由………………7分
⑵令,得 .9分
由题意得 ………12分 ∴ …………14分