福建省福州市莲岐中学高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 容器A中有升水,将水缓慢注入空容器B,经过t分钟时容器A中剩余水量y满足指数型函数为自然对数的底数,为正常数),若经过5分钟时容器A和容器B中的水量相等,经过n分钟容器A中的水只有,则n的值为
A.7 B.8 C.9 D.10
参考答案:
D
2. 已知tanα=﹣,且α是第二象限角,则cosα的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
【分析】利用同角三角函数的基本关系的应用,以及三角函数在各个象限中的符号,求得cosα的值.
【解答】解:∵tanα==﹣,sin2α+cos2α=1,
且α是第二象限角,∴cosα<0,sinα>0,求得cosα=﹣,
故选:D.
3. 若将函数f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x+1的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式,根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,以及正弦函数的图象的对称性求得﹣2φ=kπ+,k∈Z,从而得到φ的最小正值.
【解答】解:将函数f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x+1=sin2x+cos2x=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,
可得y=sin[2(x﹣φ)+]=sin(2x+﹣2φ)的图象的图象.
再根据所得图象关于y轴对称,可得﹣2φ=kπ+,k∈Z,
故φ的最小正值是,
故选:C.
【点评】本题主要考查二倍角公式,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.
4. 函数的图象的大致形状是( )
A A. B.
C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的图象.
【专题】数形结合.
【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号,将原函数化成分段函数的形式,再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案.
【解答】解:∵y==
当x>0时,其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分,因为a>1,所以是增函数的形状,
当x<0时,其图象是函数y=﹣ax在y轴左侧的部分,因为a>1,所以是减函数的形状,
比较各选项中的图象知,C符合题意
故选C.
【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换,培养学生画图的能力,属于基础题.
5. 如图,I是全集,M、P、S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A. (M∩P)∩S B. (M∩P)∪S
C. (M∩P)∩ D. (M∩P)∪
参考答案:
C
6. 一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形,则该机器零件的体积为( )
A.8+ B.8+ C.8+ D.8+
参考答案:
A
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知几何体的下部是边长为2正方体,上部是球,且半球的半径为1,代入体积公式求出正方体的体积与球的体积相加.
【解答】解:由三视图知几何体的下部是边长为2正方体,上部是球,且半球的半径为1,
∴几何体的体积V=V正方体+=23+××π13=8+.
故选A.
7. 已知集合,,则集合与的关系是( )
A.= B. C. D.
参考答案:
C
8. △ABC中,D在AC上, ,P是BD上的点, ,则m的值( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
由题意得:
则
故选
9. 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B. C.1 D.2
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题.
【分析】几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱,底面是直角三角形,利用三视图的数据,直接求出棱柱的体积即可.
【解答】解:由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱,底面是直角三角形,直角边分别为:1,,棱柱的高为,所以几何体的体积为: =1.
故选C.
【点评】本题考查三视图与几何体的关系,考查想的视图能力与空间想象能力.
10. 如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,∠A=90°,且BC1⊥AC,过C1作C1H⊥底面ABC,垂足为H,则点H在( ).
A.直线AC上 B.直线AB上
C.直线BC上 D.△ABC内部
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)已知tanα=,则= .
参考答案:
﹣3
考点: 三角函数的化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 将所求关系式中的“弦”化“切”,代入计算即可.
解答: ∵tanα=,
∴===﹣3.
故答案为:﹣3.
点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用,“弦”化“切”,是关键,属于中档题.
12. 若对任意的,关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围是________ .
参考答案:
[3,6]
【分析】
因为,则不等式可表示为,对该式子进行整理再根据x的范围,可得到a的取值范围。
【详解】由题得,在恒成立,即,,所以且,即。
【点睛】本题考查含绝对值不等式的参数的取值范围,是常考题型。
13. 函数的定义域是 .
参考答案:
14. 若锐角△ABC的面积为,则BC边上的中线AD为_________.
参考答案:
【分析】
直接利用三角形的面积公式求出A的值,进一步利用余弦定理求出结果.
【详解】解:锐角的面积为,,,
则:,
解得:,
所以:,
所以:,
解得:.
在中,
利用余弦定理:,
在中,
利用余弦定理:
得:,
解得:
故答案为:
【点睛】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理及三角形面积公式,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
15. 已知函数是偶函数,则f(-1)=_______________.
参考答案:
3
16. 在△ABC中,已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA,若a、b、c分别是角A、B、C所对的边,则的最大值为 .
参考答案:
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】根据正弦、余弦定理化简已知条件,然后利用基本不等式即可求出所求式子的最大值.
【解答】解:在三角形中,由正、余弦定理可将原式转化为:
ab?=ac?+bc?,
化简得:3c2=a2+b2≥2ab,
故≤,即的最大值为.
故答案为:
17. 若数列:12+22+32+42+??????+n2 = 则:
数列:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,??????????????? 的前100项的和是 .
参考答案:
945
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知集合A={x|a﹣1<x<2a+1},B={x|0<x<1}
(1)若a=,求A∩B.
(2)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
参考答案:
考点: 集合关系中的参数取值问题;交集及其运算.
专题: 计算题;分类讨论.
分析: (1)当a=时,A={x|},可求A∩B
(2)若A∩B=?,则A=?时,A≠?时,有,解不等式可求a的范围
解答: (1)当a=时,A={x|},B={x|0<x<1}
∴A∩B={x|0<x<1}
(2)若A∩B=?
当A=?时,有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠?时,有
∴﹣2<a≤或a≥2
综上可得,或a≥2
点评: 本题主要考查了集合交集的求解,解题时要注意由A∩B=?时,要考虑集合A=?的情况,体现了分类讨论思想的应用.
19. (本题12分)已知不等式的解集为A,关于的不等式的解集为B,全集U=R,求使的实数的取值范围.
参考答案:
的取值范围是
20. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为BD的中点,G在CD上,且CG=,H为C1G的中点,
求:(1)FH的长;(2)三角形FHB的周长.
参考答案:
解:如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.由于正方体的棱长为1,则有D(0,0,0),B(1,1,0),G(0,,0),C1(0,1,1).
(1)因为F和H分别为BD和C1G的中点,
所以F(,,0),H(0,,).
所以FH=
=.
(2)由(1)可知FH=,
又BH= `=,
BF=,
所以三角形FHB的周长等于.
19.已知
(1)求的定义域;
(2)证明为奇函数;
(3)求使>0成立的x的取值范围. (14分)
19;解:(1)
(2)证明:
中为奇函数.
(3)解:当a>1时, >0,则,则
因此当a>1时,使的x的取值范围为(0,1).
时,
则
解得
因此时, 使的x的取值范围为(-1,0).
略
21. 已知函数有两个零点;
(1)若函数的两个零点是和,求k的值;
(2)若函数的两个零点是,求的取值范围
参考答案:
22. (本题满分12分)
已知过点M(-3,-3)的直线被圆所截得的弦长为,求直线的方程.
参考答案:
解: 将圆的方程写成标准形式,得
所以,圆心的坐标是(0,-2),半径长为5.
因为直线被圆所截得的弦长是,所以弦心距为
即圆心到所求直线的距离为
依题意设所求直线的方程为,因此
所以
解得
故 所求的直线方程有两条,它们的方程分别为
略