福建省莆田市第十七中学2022年高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
已知函数,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:D
2. 已知实数x,y满足,则目标函数z=x﹣y的最小值为( )
A.﹣2 B.5 C.6 D.7
参考答案:
A
【考点】简单线性规划.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】先画出约束条件的可行域,再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y,不难求出目标函数z=x﹣y的最小值.
【解答】解:如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域,
由得A(3,5),
当直线z=x﹣y平移到点A时,直线z=x﹣y在y轴上的截距最大,即z取最小值,
即当x=3,y=5时,z=x﹣y取最小值为﹣2.
故选A.
【点评】本题主要考查线性规划的基本知识,用图解法解决线性规划问题时,利用线性规划求函数的最值时,关键是将目标函数赋予几何意义.
3. 茎叶图如图1,为高三某班60名学生的化学考试成绩,算法框图如图2中输入的a1为茎叶图中的学生成绩,则输出的m,n分别是( )
A.m=29,n=15 B.m=29,n=16 C.m=15,n=16 D.m=16,n=15
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中,成绩大于等于80的人数,和成绩小于80且大于等于60的人数,根据茎叶图可得.
【解答】解:由程序框图知:算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中,成绩大于等于80的人数,和成绩小于80且大于等于60的人数,
由茎叶图得,在60名学生的成绩中,成绩大于等于80的人数有80,80,82,84,84,85,86,89,89,89,90,91,96,98,98,98,共1,6人,故n=16,
由茎叶图得,在60名学生的成绩中,成绩小于60的人数有43,46,47,48,49,50,51,52,53,53,56,58,59,59,59共15人,
则在60名学生的成绩中,成绩小于80且大于等于60的人数有60﹣16﹣15=29,故m=29,
故选:B.
【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键.
4. 设为等比数列的前项和,,则
(A) (B) (C) (D) ks5u
参考答案:
A
略
5.
若满足且的最小值为-4,则的值为( )
参考答案:
D
6. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=pSn+q(n∈N*,p≠﹣1),则“a1=q”是“{an}为等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由等比数列的定义和递推公式即可得到{an}是以p+1为公比的等比数列,再令n=1,求出a1=q,根据充要条件的定义判断即可
【解答】解:∵an+1=pSn+q,①
∴an=pSn﹣1+q,②,
由①﹣②可得an+1﹣an=p(Sn﹣Sn﹣1)=pan,
∴an+1=(p+1)an,
∴=p+1,
∴{an}是以p+1为公比的等比数列,
当n=1时,a2=pa1+q=a1(p+1),
解得a1=q
故“a1=q”是“{an}为等比数列”的充要条件,
故选:C
7. 已知,则的表达式为( )
B. C. D.
参考答案:
A
8. 已知x∈[-π,π],则“x∈”是“sin(sinx)<cos(cosx)成立”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
C
试题分析:当x∈时,sinx+cosx≤
所以0≤sinx<-cosx≤
于是sin(sinx)<sin(-cosx)=cos(cosx),充分性成立.
取x=-,有sin(sinx)=sin(-)=-sin<0
cos(cosx)=cos(-)=cos>0
所以sin(sinx)<<cos(cosx)也成立,必要性不成立
故选C
考点:三角函数的性质,充要条件
9. 设,若,则的最大值为( ).
(A) (B)1 (C) (D)2
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
10. 已知命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0,则¬p是( )
A.?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≤0
C.?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0
参考答案:
C
【考点】命题的否定.
【分析】由题意,命题p是一个全称命题,把条件中的全称量词改为存在量词,结论的否定作结论即可得到它的否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项
【解答】解:命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0是一个全称命题,其否定是一个特称命题,
故?p:?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0.
故选:C.
【点评】本题考查命题否定,解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则,本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误,学习时要注意准确把握规律.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,则 .
参考答案:
12. 已知各项均为正数的等比数列的公比为,则 .
参考答案:
13. 在极坐标系中,直线l:与圆C:,则直线l被圆C截得的弦长为 .
参考答案:
14. 圆C:的圆心到直线的距离是_______________.
参考答案:
3
15. 已知函数在x=-1时有极值0,则m=______;n=_______;
参考答案:
m=2,n=9。
16. 方程lgx=sinx的解的个数为 .
参考答案:
3
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由函数y=lgx的单调性可知:当0<x≤10时,lgx≤1;又由正弦函数的有界性可知:sinx≤1.画出当x>0时的图象即可得出答案.
【解答】解:要使lgx有意义,必须x>0.
分别作出函数y=lgx,y=sinx,当x>0时的图象:
由函数y=lgx的单调性可知:当0<x≤10时,lgx≤1;又sinx≤1.
由图象可以看出:函数y=lgx与y=sinx的图象有且仅有3个交点,故方程lgx=sinx的解的个数为3.
故答案为3.
【点评】熟练掌握对数函数和正弦函数的图象和性质是解题的关键.
17. 已知变量,满足约束条件,则的最大值是_________.
参考答案:
9
考点:简单的线性规划.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 经过坐标原点O的两条直线与椭圆:分别相交于点A、C和点B、D,其中直线AB经过E的左焦点,直线CD经过E的右焦点(1,0).当直线AB不垂直于坐标轴时,AB与AD的斜率乘积为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
参考答案:
(1)(2)最大值6.
【分析】
(1)设,,由对称性可知,由,,相减得,而直线与直线的斜率乘积为,所以,由题意可知,利用,这样可求出的值,进而求出椭圆的标准方程;
(2)由题设不平行于轴,设:,与联立得,由对称性四边形是平行四边形,其面积的等于面积的4倍,于是,利用根与系数的关系,和换元法以及求导法,可以求出四边形面积的最大值.
【详解】解:(1)设,,由对称性,直线与直线的斜率乘积为.
由,,相减得.
所以,因为,所以,,的方程为.
(2)由题设不平行于轴,设:,与联立得.,.
由对称性四边形是平行四边形,其面积的等于面积的4倍,于是 .
设,当时,,函数单调递增,
所以当,即时,取最大值6.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及椭圆内接四边形面积最大问题,解决本题的关键是理解掌握椭圆对称性质.
19. 已知函数f(x)=lnx﹣ax+,且f(x)+f()=0,其中a,b为常数.
(1)若函数f(x)的图象在x=1的切线经过点(2,5),求函数的解析式;
(2)已知0<a<1,求证:f()>0;
(3)当f(x)存在三个不同的零点时,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)利用赋值法,令x=1,得到f(1)=0,则切点为(1,0),从而可求出切线的斜率k=5,即f'(1)=5.由方程组,即可求出a,b的值;
(2)将x=待入f(x)的解析式,构造函数,通过求导可知g(x)在(0,1)上单调递减,则g(x)>g(1)=1﹣ln2>0,即f()>0;
(3)求导,f'(x)=,对参数a进行分类讨论,易知a≤0,或a≥时,f(x)至多一个零点,不符题意;当0<a<时,f(x)存在两个极值点x1,x2,通过零点存在定理可知,此时f(x)存在三个零点,满足条件,故a的取值范围是.
【解答】解:(1)在中,取x=1得f(1)=0,∴f(1)=﹣a+b=0,∴a=b,
∵,∴f'(1)=1﹣a﹣b=1﹣2a,
∵f(x)的图象在x=1的切线经过点(1,0),(2,5),∴k=,
∴1﹣2a=5,得a=﹣2,
∴;
(2)
令,
则
∴x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
∴x∈(0,1)时,
故0<a<1时,f()>0;
(3),
①当a≤0时,在(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)递增,∴f(x)至多一个零点,不符题意;
②当时,在(0,+∞)上,f′(x)≤0,f(x)递减,∴f(x)至多一个零点,不符题意;
③当时,令f′(x)=0,解得,,
此时,f(x)在(0,x1)上递减,在(x1,x2)上递增,在(x2,+∞)上递减,
∵x1<1<x2,∴f(x1)<f(1)<f(x2),即f(x1)<0,f(x2)>0,
∵,∴,使得f(x0)=0,
又∵,
∴f(x)恰有三个不同的零点:
综上所述,a的取值范围是.
【点评】本题考查了利用导数研究切线方程,利用导数证明不等式以及利用导数判断函数零点的方法,着重考查了数学转化思想的应用,是难度较大的题目.
20. 如图6所示,F1、F2为椭圆C: +=1(b0)的左、右焦点,D、E分别是椭圆C的右顶点和上顶点,椭圆的离心率e=,=1- .若点M(x0,y0)在椭圆C上,则
点N(,)称为点M的一个“椭点”,直线l与椭圆交于A、B两点,A、B两点的“椭点”分别为P、Q,已知以PQ为直径的圆过坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)问是否存在过左焦点F1的直线l,使得以PQ为直径的圆过坐标原点?
若存在,求出该直线的方程,若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(I)e= = c=a, b=aS DEF2=(a-c)b=1-
a=2,b=1故椭圆C的标准方程为+y2=1………………………………………………….5分
(Ⅱ) ①当直线l的斜