福建省福州市东张中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
函数和函数互为反函数图像关于对称。则只有直线与直线垂
2. 若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式f(x)>+1(e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞)
参考答案:
A
考点:利用导数研究函数的单调性;其他不等式的解法.
专题:计算题;导数的综合应用;不等式的解法及应用.
分析:不等式f(x)>+1可化为exf(x)﹣ex﹣3>0;令F(x)=exf(x)﹣ex﹣3,从而利用导数确定函数的单调性,再由单调性求解.
解答: 解:不等式f(x)>+1可化为
exf(x)﹣ex﹣3>0;
令F(x)=exf(x)﹣ex﹣3,
则F′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex
=ex(f(x)+f′(x)﹣1);
∵f(x)+f′(x)>1,
∴ex(f(x)+f′(x)﹣1)>0;
故F(x)=exf(x)﹣ex﹣3在R上是增函数,
又∵F(0)=1×4﹣1﹣3=0;
故当x>0时,F(x)>F(0)=0;
故exf(x)﹣ex﹣3>0的解集为(0,+∞);
即不等式f(x)>+1(e为自然对数的底数)的解集为(0,+∞);
故选A.
点评:本题考查了不等式的解法及构造函数的能力,同时考查了导数的综合应用,属于中档题.
3. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩?UB=( )
A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}
参考答案:
A
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】由全集U及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可;
【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},
∴?UB={2,5,8},
则A∩?UB={2,5}.
故选:A.
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
4. 已知等差数列中,,那么( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
5. 等差数列的公差,且,,成等比数列,若,为数列的前项和,则数列的前项和取最小值时的为( )
A. 3 B. 3或4 C. 4或5 D. 5
参考答案:
B
6. 已知点P(x,y)在线性区域内,则点P到点A(4,3)的最短距离为( )
A 3 B 4 C 5 D
参考答案:
D
略
7. 设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. (m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)
C. D.
参考答案:
C
【考点】函数恒成立问题.
【分析】先根据题中条件:“(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切实数x恒成立”,结合二次函数的性质,得到解答.
【解答】解:不等式(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切x∈R恒成立,
即(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切x∈R恒成立
若m+1=0,显然不成立
若m+1≠0,则
解得a.
故选C.
9. 直线:kx-y-3=0和:x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k= ( )
A. -3 B. -2 C. -或-1 D. 或1
参考答案:
A
直线的斜率为,直线的斜率为,由,解得,选A.
10. 下列函数中,既是奇函数,又在区间-1,1上单调递减的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过点且与圆相切的直线l的方程是____________.
参考答案:
【分析】
设直线方程为,根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径,即可得到答案.
【详解】依题满足条件的直线斜率存在,
设直线方程为:即.
又的圆心为,半径为,
又直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,
所以,解之得:
所以直线的方程为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,利用圆心到直线的距离解决问题,属于基础题.
12. 如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西,与O相距10海里的C处,现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船,甲船需要 小时到达B处。
参考答案:
13. 已知函数,则不等式的解集为 .
参考答案:
14. 在平面直角坐标系中,已知点在圆内,动直线过点且交圆于两点,若△ABC的面积的最大值为,则实数的取值范围为 .
参考答案:
或.
考点:点与圆的位置关系,圆心到弦的距离.
15. 设函数则时x的取值范围是________.
参考答案:
综上得,的取值范围为:.
16. 函数在定义域内的零点的个数为
参考答案:
2个
17. 若正数满足,则的最大值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.
(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R.
参考答案:
(1)由根与系数的关系解得a=3.
所以不等式变为2x2-x-3>0,解集为(-∞,-1)∪(,+∞).
(2)由题意知,3x2+bx+3≥0的解集为R,
Δ=b2-4×3×3≤0,解得b的取值范围是[-6,6].
19. (本题满分12分)已知向量
(1)求的最小正周期和最大值;
(2)在分别是角A、B、C的对边,且,求角C。
参考答案:
(1)f(x)==2cos2x+sin2x=2sin(2x+ )+1.∴周期T=π,最大值为 2+1=3.
(2)根据f(A)=2,可得 sin(2A+ )=,∴2A+=,A=.
由正弦定理可得 ,sinB=,∴B=.再根据三角形内角和公式可得C=.
20. 已知,.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若时,的解集为空集,求a的取值范围.
参考答案:
(1)当时,化为 , …………1分
当,不等式化为,解得或,
故;…………2分
当时,不等式化为,解得或,
故; …………3分
当,不等式化为,解得或
故; …………4分
所以解集为或. …………5分
(2) 由题意可知,即为时,恒成立. …………6分
当时,,得;…………8分
当时,,得,
综上,.…………10分
21. 已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若≥0对任意的恒成立,求实数的值;
(3)在(2)的条件下,证明:
参考答案:
解:(1)由题意,由得
当时, ;当时,.
∴在单调递减,在单调递增. ……………………3分
即在处取得极小值,且为最小值,
其最小值为 …………4分
(2)对任意的恒成立,即在上,.
由(1),设,所以.
由得.
易知在区间上单调递增,在区间上单调递减,
∴ 在处取得最大值,而.
因此的解为,∴. ………………8分
(3)由(2)知,对任意实数均有,即.
令 ,则.
∴ .……………………………………………………………………10分
∴
.
略
22. (本小题满分14分)
设函数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)设是函数图象上任意不同的两点,线段的中点为C,直线AB的斜率为. 证明:;
(3)设,对任意,都有
,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)见解析;(3)。
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质;导数在最大值、最小值问题中的应用.B11 B12
解析:(1)当时,,定义域为
…………………………………………………………2分
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
综上,的单调递增区间为,单调递减区间为……………… 4分
(2)证明:,……………………………………………………5分
又,所以,………………………………6分
要证,即证,
不妨设,即证,即证,
设,即证:, ……………………………………………7分
也就是要证:,其中,
事实上:设,
则,
所以在上单调递增,因此,即结论成立. …………………9分
(3)由题意得,即,
若设,则在上单调递减,……………………………………10分
①当时,,
,
在恒成立,
设,则,
当时,
在上单调递增,,
………………………………………………………………………………………12分
②当时,,
,
在恒成立,
设,,
即在单调递增,故,
,
综上所述:. …………………………………………………………………………14分
【思路点拨】(1)由题意先把f(x)的解析式具体,然后求其导函数,令导函数大于0,解出的即为函数的增区间;(2)对于当a=0时,先把f(x)=lnx具体出来,然后求导函数,得到f′(x0),在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式,利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小;(3)因为由题意得,即,先写出的解析式,利用该函数的单调性把问题转化为恒成立问题进行求解.