福建省龙岩市下坝中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在⊿中,三内角的对边分别为,向量=,
=,若,且,则的大小分别是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
2. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为( )
A. 6 B. 5 C. 8 D.7
参考答案:
D
3. 已知两条直线和互相平行,则等于( )
A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3
参考答案:
A
因为直线的斜率存在且为,所以,所以的斜截式方程为,因为两直线平行,所以且,解得或,选A.
4. 下列函数中,既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
5. 函数(其中>0,<的图象如图所示,为了得到的图象,只需将的图象
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
参考答案:
D
6. 已知全集为,则
A. B.
C. D.
参考答案:
A
7. 若等差数列满足,,则的值是 ( )
A.20 B.24 C. 36 D.72
参考答案:
B
略
8. 设全集,,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 已知全集U=Z,集合A={–2,–1,1,2},B=,则CUB
A.{–2,–1} B.{2, 1} C.{–2, 1} D.{–1,2}
参考答案:
A
略
10. 设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:
①c=0时,f(x)是奇函数;
②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实根;
③f(x)的图象关于(0,c)对称;
④方程f(x)=0至多两个实根.
其中正确的命题是( )
A.①④ B.①③ C.①②③ D.①②④
参考答案:
C
考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的判断;奇偶函数图象的对称性.
专题: 计算题;综合题.
分析: ①c=0时,可由奇函数的定义判断正确.③由①可知c=0时,f(x)图象关于原点对称,故f(x)=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位,故关于(0,c)对称正确;②④中取b=﹣3,c=2即可判断错误.
解答: 解:①c=0时,f(﹣x)=﹣x|x|﹣bx=﹣f(x),故f(x)是奇函数,故①正确;
③由①可知c=0时,f(x)图象关于原点对称,f(x)=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位,故关于(0,c)对称正确;
取b=﹣1,c=0,则f(x)=x|x|﹣x=x(|x|﹣1)=0,x=0或x=±1,故④错误;
b=0,c>0时,f(x)=x|x|+c=,函数f(x)是一个增函数,故只有一个零点,故②正确
故选C
点评: 本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题,综合性强,难度较大.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,函数在上单调递减,则的取值范围是 .
参考答案:
12. 已知向量,夹角为,且||=1,||=,则||=_______.
参考答案:
略
13. 若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(1,2]
【考点】对数函数的单调性与特殊点.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】当x≤2时,满足f(x)≥4.当x>2时,由f(x)=3+logax≥4,即logax≥1,故有loga2≥1,由此求得a的范围.
【解答】解:由于函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),
故当x≤2时,满足f(x)≥4.
当x>2时,由f(x)=3+logax≥4,∴logax≥1,∴loga2≥1,
∴1<a≤2,
故答案为:(1,2].
【点评】本题主要考查分段函数的应用,对数函数的单调性和特殊点,属于基础题.
14. 从某企业的某种产品中抽取1000件,测量该种产品的一项质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,假设这项指标在[185,215]内,则这项指标合格,估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为 .
参考答案:
0.79
这种指标值在内,则这项指标合格,
由频率分布直方图得这种指标值在内的频率为,
所以估计该企业这种产品在这项指标上合格率为.
15. (文科)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
(理科)曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为 .
参考答案:
文8;理。
【考点】极限及其运算;导数的几何意义;定积分.
【专题】计算题;数形结合法;导数的概念及应用.
【分析】(文科)先运用导数求切线的斜率,得到切线方程,再根据该直线与抛物线相切,由△=0解出a;
(理科)先求出两曲线的交点,得到积分的上,下限,再用定积分求面积.
【解答】解:(文科)y'=1+=2,即切线的斜率为2,
根据点斜式,求得切线方程为y=2x﹣1,
该直线又与抛物线y=ax2+(a+2)x+1相切(a≠0),
联立得,ax2+(a+2)x+1=2x﹣1,
整理得,ax2+ax+2=0,
由△=0解得a=8(舍a=0),
故答案为:8.
(理科)联立方程解得x=0或x=1,
两曲线围成的面积根据定积分得,
S=x﹣==,
故答案为:.
【点评】本题主要考查了导数的简单应用和定积分的应用,属于基础题.
16. 若一组样本数据,,,,的平均数为,则该组数据的方差 .
参考答案:
略
17. 设函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,则的范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图1,△ABC是边长为6的等边三角形,E,D分别为AB,AC靠近B,C的三等分点,点G为BC边的中点,线段AG交线段ED于F点,将△AED沿ED翻折,使平面AED⊥平面BCDE,连接AB,AC,AG形成如图2所示的几何体.
(Ⅰ) 求证:BC⊥平面AFG;
(Ⅱ) 求二面角B-AE-D的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:在图1中,由△ABC是等边三角形,E,D分别为AB,AC的三等分点,点G为BC边的中点,
则DE⊥AF,DE⊥GF,DE∥BC.
在图2中,因为DE⊥AF,DE⊥GF,AF∩FG=F,所以DE⊥平面AFG.
又DE∥BC,所以BC⊥平面AFG.
(Ⅱ)解:因为平面AED⊥平面BCDE,平面AED∩平面BCDE=DE,AF⊥DE,
所以,AF⊥平面BCDE 又因为DE⊥GF,
所以FA,FD,FG两两垂直.
以点F为坐标原点,分别以FG,FD,FA所在的直线为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.则
A(0,0,2),B(,-3,0),E(0,-2,0),
所以=(,- 3,-2),=(-,1,0).
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则 即 取x=1,则y=,z=-1,则n=(1,,-1).
显然m=(1,0,0)为平面ADE的一个法向量,
所以 cos〈m,n〉==. 由图形可知二面角B-AE-D为钝角,
所以,二面角B-AE-D的余弦值为-.
19. (本小题满分12分)
设椭圆()的离心率为,圆与x轴正半轴交于点A,圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M,N,试判断是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,由椭圆的离心率为知,,
∴椭圆的方程可设为.
易求得,∴点在椭圆上,∴,
解得,∴椭圆的方程为. …………………………5分
(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时,不妨设切线方程为,由(Ⅰ)知,,
,∴.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时,可设切线的方程为,,
∴,即.
联立直线和椭圆的方程得,
∴,得.
∵,
∴,
,
∴.
综上所述,圆上任意一点处的切线交椭圆于点,都有.
在中,由与相似得,为定值.
…………………………12分
20. (本小题满分14分)已知函数(其中,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,(),求k的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试证明.
参考答案:
(Ⅱ)函数有两个极值点,,则,是的两个根,
21. 已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)或;(2)空集.
【分析】
(1)通过零点法,分类讨论,去掉绝对值符号,然后求解不等式的解集.
(2)当时,,化简,由得,即,推出结果即可.
【详解】解:(1)不等式,即.
可得,或或,
解得或,所以不等式的解集为.
(2)当时,,所以,
由得,即,
则,该不等式无解,
所以实数的取值范围是空集(或者).
【点睛】本题考查不等式的解法,恒成立条件的转化,考查计算能力.
22. (本小题满分12分)
如图,在几何体ABCDE中,DA平面EAB,EA⊥AB ,CB∥DA,F为DA上的点,EA=DA=AB=2CB,M是EC的中点,N为BE的中点.
(1)若AF=3FD,求证:FN∥平面MBD;
(2)若EA=2,求三棱锥M—ABC的体积.
参考答案:
解: (I)证明:连接,因分别是,的中点,
且,又,,
又,即,,四边形为平行四边形,…3分
又平面,平面
所以平面. ……6分
(Ⅱ)连接AN,MN,则 ,所以,
又在中,, ……8分
,
所以三棱锥的体积为. ……12分